Арифметическая прогрессия: формулы и задачи для ОГЭ и ЕГЭ

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность. Главное свойство арифметической прогрессии: каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Изучение арифметической прогрессии начинается в 9 классе по алгебре. Полученные знания и навыки решения задач обязательны для успешного выполнения заданий на ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Основные формулы арифметической прогрессии

Для работы с арифметической прогрессией необходимо знать три ключевые формулы.

1. Формула n-го члена прогрессии

Любой член арифметической прогрессии можно найти, если известен первый член (a₁) и разность (d). Формула для нахождения n-го члена: aₙ = a₁ + d • (n — 1)

Практический пример: Дано: a₁ = 2, d = 5. Найдем несколько членов:

• a₂ = 2 + 5 • (2 — 1) = 7
• a₁₀ = 2 + 5 • (10 — 1) = 47
• a₁₆ = 2 + 5 • (16 — 1) = 77

2. Формула разности арифметической прогрессии

Разность (d) — это величина, на которую меняется каждый последующий член. Вычислить разность можно по формуле: d = aₙ₊₁ — aₙ

Пример вычисления: Дана прогрессия: 5, 10, 15. d = 10 — 5 = 5 или d = 15 — 10 = 5. Разность постоянна и равна 5.

3. Формула суммы первых n членов

Чтобы найти сумму первых нескольких членов прогрессии (Sₙ), используйте формулу: Sₙ = (a₁ + aₙ) • n / 2 где n — количество суммируемых членов.

Пример расчета суммы: Найти сумму первых 8 членов (S₈), если a₁ = 5, d = 10.

1. Сначала найдем 8-й член: a₈ = 5 + 10 • (8 — 1) = 75.
2. Подставим в формулу суммы: S₈ = (5 + 75) • 8 / 2 = 320.

Свойство арифметической прогрессии

Последовательность является арифметической прогрессией, если для любого её члена (кроме первого) выполняется характеристическое свойство: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 Каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседей.

Практикуемся: решаем задачи на арифметическую прогрессию

Закрепим теорию на конкретных примерах.

Задача 1: Найти разность прогрессии

Условие: Найдите разность арифметической прогрессии: 12,6; 7,3; 2. Решение: Применяем формулу разности: d = aₙ₊₁ — aₙ.

• d = a₂ — a₁ = 7,3 — 12,6 = -5,3
• d = a₃ — a₂ = 2 — 7,3 = -5,3 Ответ: Разность арифметической прогрессии d = -5,3.

Задача 2: Сумма членов в жизненной ситуации

Условие: 2 апреля Маша начала копить на букет маме к её дню рождения 30 апреля. В первый день она отложила 20 рублей, а каждый следующий день — на 30 рублей больше, чем в предыдущий. Сколько денег она накопит к 30 апреля? Решение:

1. Определяем параметры арифметической прогрессии:
   • Первый член a₁ = 20 (рублей отложено 2 апреля).
   • Разность d = 30 (ежедневная прибавка).
   • Число членов n = 29 (дней с 2 по 30 апреля включительно).
2. Находим сумму 29 членов (S₂₉). Сначала вычислим 29-й член: a₂₉ = a₁ + d • (29 — 1) = 20 + 30 • 28 = 860.
3. Теперь находим сумму: S₂₉ = (a₁ + a₂₉) • n / 2 = (20 + 860) • 29 / 2 = 12 760. Ответ: К 30 апреля Маша накопит 12 760 рублей.

Дополнительные материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

Чтобы уверенно решать задачи на арифметическую прогрессию, важно регулярно практиковаться. Больше готовых разборов задач, теоретических конспектов и вариантов для тренировки по алгебре и другим предметам вы найдете в нашей коллекции материалов для учеников 9–11 классов на сайте https://edu-life.tech.