---
title: "Арифметическая прогрессия: формулы и задачи для ОГЭ и ЕГЭ"
description: "Объяснение арифметической прогрессии: определение, формулы для разности, n-го члена и суммы. Примеры и задачи с решениями для подготовки к экзаменам."
canonical: https://edu-life.tech/articles/arifmeticheskaya-progressiya-formuly-zadachi-resheniya
tags: ["shkola", "matematika", "9-klass", "10-klass", "11-klass", "ege", "oge"]
---

# Арифметическая прогрессия: формулы и задачи для ОГЭ и ЕГЭ

## Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность. Главное свойство арифметической прогрессии: каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Изучение арифметической прогрессии начинается в 9 классе по алгебре. Полученные знания и навыки решения задач обязательны для успешного выполнения заданий на ОГЭ и ЕГЭ по математике.

## Основные формулы арифметической прогрессии

Для работы с арифметической прогрессией необходимо знать три ключевые формулы.

### 1. Формула n-го члена прогрессии

Любой член арифметической прогрессии можно найти, если известен первый член (a₁) и разность (d).
Формула для нахождения n-го члена:
**aₙ = a₁ + d • (n — 1)**

**Практический пример:**
Дано: a₁ = 2, d = 5. Найдем несколько членов:
- a₂ = 2 + 5 • (2 — 1) = 7
- a₁₀ = 2 + 5 • (10 — 1) = 47
- a₁₆ = 2 + 5 • (16 — 1) = 77

### 2. Формула разности арифметической прогрессии

Разность (d) — это величина, на которую меняется каждый последующий член. Вычислить разность можно по формуле:
**d = aₙ₊₁ — aₙ**

**Пример вычисления:**
Дана прогрессия: 5, 10, 15.
d = 10 — 5 = 5 или d = 15 — 10 = 5. Разность постоянна и равна 5.

### 3. Формула суммы первых n членов

Чтобы найти сумму первых нескольких членов прогрессии (Sₙ), используйте формулу:
**Sₙ = (a₁ + aₙ) • n / 2**
где n — количество суммируемых членов.

**Пример расчета суммы:**
Найти сумму первых 8 членов (S₈), если a₁ = 5, d = 10.
1.  Сначала найдем 8-й член: a₈ = 5 + 10 • (8 — 1) = 75.
2.  Подставим в формулу суммы: S₈ = (5 + 75) • 8 / 2 = 320.

## Свойство арифметической прогрессии

Последовательность является арифметической прогрессией, если для любого её члена (кроме первого) выполняется характеристическое свойство:
**aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2**
Каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседей.

## Практикуемся: решаем задачи на арифметическую прогрессию

Закрепим теорию на конкретных примерах.

### Задача 1: Найти разность прогрессии
**Условие:** Найдите разность арифметической прогрессии: 12,6; 7,3; 2.
**Решение:**
Применяем формулу разности: d = aₙ₊₁ — aₙ.
- d = a₂ — a₁ = 7,3 — 12,6 = -5,3
- d = a₃ — a₂ = 2 — 7,3 = -5,3
**Ответ:** Разность арифметической прогрессии d = -5,3.

### Задача 2: Сумма членов в жизненной ситуации
**Условие:** 2 апреля Маша начала копить на букет маме к её дню рождения 30 апреля. В первый день она отложила 20 рублей, а каждый следующий день — на 30 рублей больше, чем в предыдущий. Сколько денег она накопит к 30 апреля?
**Решение:**
1.  Определяем параметры арифметической прогрессии:
    - Первый член a₁ = 20 (рублей отложено 2 апреля).
    - Разность d = 30 (ежедневная прибавка).
    - Число членов n = 29 (дней с 2 по 30 апреля включительно).
2.  Находим сумму 29 членов (S₂₉). Сначала вычислим 29-й член:
    a₂₉ = a₁ + d • (29 — 1) = 20 + 30 • 28 = 860.
3.  Теперь находим сумму:
    S₂₉ = (a₁ + a₂₉) • n / 2 = (20 + 860) • 29 / 2 = 12 760.
**Ответ:** К 30 апреля Маша накопит 12 760 рублей.

## Дополнительные материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

Чтобы уверенно решать задачи на арифметическую прогрессию, важно регулярно практиковаться. Больше готовых разборов задач, теоретических конспектов и вариантов для тренировки по алгебре и другим предметам вы найдете в нашей коллекции материалов для учеников 9–11 классов на сайте https://edu-life.tech.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?