Арифметический квадратный корень: свойства, извлечение, примеры
Арифметический квадратный корень: определение и суть
Арифметический квадратный корень — это базовая операция, обратная возведению в квадрат. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа X называется такое неотрицательное число Y, квадрат которого равен X. Например, арифметический квадратный корень из 16 равен 4, потому что 4² = 16. Математическая запись выглядит так: y = √x.
Геометрическая интерпретация корня делает понятие наглядным. Квадратный корень из числа — это длина стороны квадрата, площадь которого равна этому числу. Подобные вычисления использовали еще математики Древнего Вавилона и Египта около четырех тысяч лет назад.
Извлечение арифметического квадратного корня
Процесс нахождения значения корня называется извлечением корня. Чтобы извлечь квадратный корень из числа x, необходимо решить уравнение:
- y² = x Поскольку при возведении в квадрат и положительные, и отрицательные числа дают положительный результат, уравнение имеет два решения. Однако арифметическим корнем считается только неотрицательное решение. Условия для арифметического квадратного корня можно записать системой:
- y = √x
- y² = x
- x ≥ 0
- y ≥ 0
Основные свойства арифметического квадратного корня
Свойства корня упрощают вычисления и преобразования. Все формулы справедливы для неотрицательных чисел a и b.
Корень из произведения. Корень произведения равен произведению корней. √(a * b) = √a * √b Пример: √(9 * 16) = √9 * √16 = 3 * 4 = 12
Корень из частного. Корень дроби равен частному корней (знаменатель не равен нулю). √(a / b) = √a / √b, где b ≠ 0 Пример: √(64 / 16) = √64 / √16 = 8 / 4 = 2
Возведение корня в степень. Корень, возведенный в степень n, равен корню из числа в этой степени. (√a)^n = √(a^n)
Корень из квадрата. Корень из квадрата числа равен его модулю. √(a²) = |a| (верно для любого числа a)
Квадрат корня. Квадрат арифметического квадратного корня равен подкоренному выражению. (√a)² = a, при a ≥ 0
Тождественные преобразования с квадратными корнями
Использование свойств позволяет выполнять тождественные преобразования для упрощения выражений.
Вынесение множителя из-под знака корня
Если подкоренное выражение — произведение, корень можно вычислить от каждого множителя отдельно. Это особенно полезно для больших чисел, которые предварительно раскладывают на множители.
Примеры вынесения множителя:
- √(144 * 256 * 7) = √144 * √256 * √7 = 12 * 16 * √7 = 192√7
- √81796 = √(169 * 484) = √169 * √484 = 13 * 22 = 286
- √(A⁴B⁶C²) = √A⁴ * √B⁶ * √C² = A² * B³ * C
Внесение множителя под знак корня
Числовой множитель перед корнем можно внести под знак корня, возведя его в квадрат. Формула: a√b = √(a² * b)
Примеры внесения множителя:
- 29√3 = √(29² * 3) = √(841 * 3) = √2523
- 5√x = √(5² * x) = √(25x)
Сокращение дробей с корнями
Техники вынесения и внесения множителя помогают сокращать дроби, содержащие корни.
Примеры сокращения дробей:
- (x² - 5) / (x + √5) = (x - √5)(x + √5) / (x + √5) = x - √5
- (√400 - √175) / (4 - √7) = (20 - 5√7) / (4 - √7) = 5(4 - √7) / (4 - √7) = 5
- (√y - 9) / (81 - y) = -1 / (9 + √y)
Практические задачи на арифметический квадратный корень
Задача 1: Торт для учительницы
Восьмиклассник Слава готовит торт. Для украшения верхнего квадратного коржа у него есть 800 грамм мастики. На 1 см² поверхности требуется 2 грамма мастики. Какой длины должна быть сторона квадратного коржа?
Решение:
- Находим площадь коржа, на которую хватит мастики: 800 г / 2 г/см² = 400 см².
- Сторона квадрата — это корень из его площади: √400 см² = 20 см.
Ответ: Сторона коржа должна быть 20 сантиметров.
Задача 2: Вычисления с использованием свойств
Вычислите, применяя свойства арифметического квадратного корня:
- √(25 * 81 * 256)
- √(1156 * 17² * 9)
- (√5 - √3) / (3 - 5)
- √((81 - x²) / (9 + x))
Ответы и краткое решение:
- √25 * √81 * √256 = 5 * 9 * 16 = 720
- √1156 * √17² * √9 = 34 * 17 * 3 = 1734
- (√5 - √3) / (-2) = -1 / (√3 + √5) (после преобразования знаменателя)
- √((9-x)(9+x)/(9+x)) = √(9-x) (при условии x ≠ -9)
Задача 3: Проверка равенства
Проверьте верность равенства: (3√7 - 5√2) / 13 = (3√7 + 5√2) / (113 + 30√14)
Решение и вывод: Преобразуем правую часть, выделив полный квадрат в знаменателе: (3√7 + 5√2) / ((3√7)² + (5√2)² + 23√75√2) = (3√7 + 5√2) / (3√7 + 5√2)² = 1 / (3√7 + 5√2) После перекрестного умножения в исходном равенстве получаем тождество 13 = 13. Ответ: Равенство верно.
Для успешного освоения темы важно регулярно практиковаться в решении задач. Больше готовых упражнений, разборов сложных примеров и материалов по алгебре для учеников 8 класса и их родителей вы найдете в нашей базе на сайте https://edu-life.tech.
Проверь себя
0/51. Чему равен арифметический квадратный корень из числа 25?
2. Какое свойство арифметического квадратного корня отражено в формуле √(a · b) = √a · √b?
3. Вычислите √(144 · 256 · 7), используя вынесение множителя из-под знака корня.
4. Какое выражение получится после внесения множителя под знак корня: 5√3?
5. Чему равна сторона квадратного коржа, если на его покрытие требуется 800 г мастики, а расход составляет 2 г/см²?
Частые вопросы
Что такое арифметический квадратный корень?
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа (x) — это такое неотрицательное число (y), квадрат которого равен (x). Обозначается как (y = \sqrt{x}). Например, (\sqrt{16} = 4), так как (4^2 = 16).
Каковы основные свойства арифметического квадратного корня?
Для неотрицательных чисел (a) и (b) верны следующие свойства:
- Корень из произведения: (\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}).
- Корень из частного: (\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}) ((b \neq 0)).
- Возведение корня в степень: ((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}).
- Корень из квадрата: (\sqrt{a^2} = |a|).
- Квадрат корня: ((\sqrt{a})^2 = a).
Как вынести множитель из-под знака корня?
Если подкоренное выражение является произведением, можно извлечь корень из каждого множителя отдельно. Например: (\sqrt{144 \cdot 256 \cdot 7} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{256} \cdot \sqrt{7} = 12 \cdot 16 \cdot \sqrt{7} = 192\sqrt{7}). Также полезно разлагать число на множители, как в примере (\sqrt{81796} = \sqrt{169 \cdot 484} = 13 \cdot 22 = 286).
Как внести множитель под знак корня?
Чтобы внести множитель под знак корня, нужно возвести его в квадрат и умножить на подкоренное выражение: (a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}). Например: (29\sqrt{3} = \sqrt{29^2 \cdot 3} = \sqrt{841 \cdot 3} = \sqrt{2523}). Или (5\sqrt{x} = \sqrt{25x}).
Как сократить дробь, содержащую корни?
Для сокращения дробей с корнями используют вынесение и внесение множителя, а также формулы сокращённого умножения. Примеры:
- (\frac{x^2 - 5}{x + \sqrt{5}} = \frac{(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{x + \sqrt{5}} = x - \sqrt{5}).
- (\frac{\sqrt{400} - \sqrt{175}}{4 - \sqrt{7}} = \frac{20 - 5\sqrt{7}}{4 - \sqrt{7}} = \frac{5(4 - \sqrt{7})}{4 - \sqrt{7}} = 5).
- (\frac{\sqrt{y} - 9}{81 - y} = -\frac{1}{9 + \sqrt{y}}).
Вас может заинтересовать
Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?
Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.