Арифметический квадратный корень: свойства, извлечение, примеры

Арифметический квадратный корень: определение и суть

Арифметический квадратный корень — это базовая операция, обратная возведению в квадрат. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа X называется такое неотрицательное число Y, квадрат которого равен X. Например, арифметический квадратный корень из 16 равен 4, потому что 4² = 16. Математическая запись выглядит так: y = √x.

Геометрическая интерпретация корня делает понятие наглядным. Квадратный корень из числа — это длина стороны квадрата, площадь которого равна этому числу. Подобные вычисления использовали еще математики Древнего Вавилона и Египта около четырех тысяч лет назад.

Извлечение арифметического квадратного корня

Процесс нахождения значения корня называется извлечением корня. Чтобы извлечь квадратный корень из числа x, необходимо решить уравнение:

1. y² = x Поскольку при возведении в квадрат и положительные, и отрицательные числа дают положительный результат, уравнение имеет два решения. Однако арифметическим корнем считается только неотрицательное решение. Условия для арифметического квадратного корня можно записать системой:

• y = √x
• y² = x
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Основные свойства арифметического квадратного корня

Свойства корня упрощают вычисления и преобразования. Все формулы справедливы для неотрицательных чисел a и b.

1. Корень из произведения. Корень произведения равен произведению корней. √(a * b) = √a * √b Пример: √(9 * 16) = √9 * √16 = 3 * 4 = 12

2. Корень из частного. Корень дроби равен частному корней (знаменатель не равен нулю). √(a / b) = √a / √b, где b ≠ 0 Пример: √(64 / 16) = √64 / √16 = 8 / 4 = 2

3. Возведение корня в степень. Корень, возведенный в степень n, равен корню из числа в этой степени. (√a)^n = √(a^n)

4. Корень из квадрата. Корень из квадрата числа равен его модулю. √(a²) = |a| (верно для любого числа a)

5. Квадрат корня. Квадрат арифметического квадратного корня равен подкоренному выражению. (√a)² = a, при a ≥ 0

Тождественные преобразования с квадратными корнями

Использование свойств позволяет выполнять тождественные преобразования для упрощения выражений.

Вынесение множителя из-под знака корня

Если подкоренное выражение — произведение, корень можно вычислить от каждого множителя отдельно. Это особенно полезно для больших чисел, которые предварительно раскладывают на множители.

Примеры вынесения множителя:

• √(144 * 256 * 7) = √144 * √256 * √7 = 12 * 16 * √7 = 192√7
• √81796 = √(169 * 484) = √169 * √484 = 13 * 22 = 286
• √(A⁴B⁶C²) = √A⁴ * √B⁶ * √C² = A² * B³ * C

Внесение множителя под знак корня

Числовой множитель перед корнем можно внести под знак корня, возведя его в квадрат. Формула: a√b = √(a² * b)

Примеры внесения множителя:

• 29√3 = √(29² * 3) = √(841 * 3) = √2523
• 5√x = √(5² * x) = √(25x)

Сокращение дробей с корнями

Техники вынесения и внесения множителя помогают сокращать дроби, содержащие корни.

Примеры сокращения дробей:

1. (x² - 5) / (x + √5) = (x - √5)(x + √5) / (x + √5) = x - √5
2. (√400 - √175) / (4 - √7) = (20 - 5√7) / (4 - √7) = 5(4 - √7) / (4 - √7) = 5
3. (√y - 9) / (81 - y) = -1 / (9 + √y)

Практические задачи на арифметический квадратный корень

Задача 1: Торт для учительницы

Восьмиклассник Слава готовит торт. Для украшения верхнего квадратного коржа у него есть 800 грамм мастики. На 1 см² поверхности требуется 2 грамма мастики. Какой длины должна быть сторона квадратного коржа?

Решение:

1. Находим площадь коржа, на которую хватит мастики: 800 г / 2 г/см² = 400 см².
2. Сторона квадрата — это корень из его площади: √400 см² = 20 см.

Ответ: Сторона коржа должна быть 20 сантиметров.

Задача 2: Вычисления с использованием свойств

Вычислите, применяя свойства арифметического квадратного корня:

1. √(25 * 81 * 256)
2. √(1156 * 17² * 9)
3. (√5 - √3) / (3 - 5)
4. √((81 - x²) / (9 + x))

Ответы и краткое решение:

1. √25 * √81 * √256 = 5 * 9 * 16 = 720
2. √1156 * √17² * √9 = 34 * 17 * 3 = 1734
3. (√5 - √3) / (-2) = -1 / (√3 + √5) (после преобразования знаменателя)
4. √((9-x)(9+x)/(9+x)) = √(9-x) (при условии x ≠ -9)

Задача 3: Проверка равенства

Проверьте верность равенства: (3√7 - 5√2) / 13 = (3√7 + 5√2) / (113 + 30√14)

Решение и вывод: Преобразуем правую часть, выделив полный квадрат в знаменателе: (3√7 + 5√2) / ((3√7)² + (5√2)² + 23√75√2) = (3√7 + 5√2) / (3√7 + 5√2)² = 1 / (3√7 + 5√2) После перекрестного умножения в исходном равенстве получаем тождество 13 = 13. Ответ: Равенство верно.

Для успешного освоения темы важно регулярно практиковаться в решении задач. Больше готовых упражнений, разборов сложных примеров и материалов по алгебре для учеников 8 класса и их родителей вы найдете в нашей базе на сайте https://edu-life.tech.