---
title: "Факториал числа: определение, формулы, примеры и задачи"
description: "Что такое факториал числа? Объясняем простыми словами: определение, формулы вычисления (включая Стирлинга), таблица значений и практические задачи с решениями."
canonical: https://edu-life.tech/articles/chto-takoe-faktorial-chisla-formuly-primery-zadachi
tags: ["shkola", "matematika", "algebra", "kombinatorika", "faktorial", "zadachi"]
---

# Факториал числа: определение, формулы, примеры и задачи

## Что такое факториал числа?

Факториал натурального числа — это произведение всех натуральных чисел от единицы до самого числа. Обозначение факториала — восклицательный знак. Например, факториал числа 4 записывается как 4! и вычисляется так: 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.

Это математическое понятие — ключевой инструмент в комбинаторике. Факториал позволяет подсчитывать количество перестановок объектов, вариантов расстановки или порядка действий. Понимание факториала формирует основу для логических расчетов и алгоритмов.

## Основные формулы для вычисления факториала

Математики используют несколько подходов для нахождения факториала.

### 1. Стандартная (итеративная) формула

Основная формула факториала выглядит следующим образом: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Переменная n здесь — любое натуральное число.
- **Пример вычисления для 9:** 9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362 880.

### 2. Рекуррентная формула

Этот метод позволяет вычислить факториал через значение предыдущего факториала. Формула: n! = n × (n−1)!.

Для работы формулы необходимо базовое условие. В математике принято важное соглашение: **0! = 1**. Это отправная точка для всех рекурсивных вычислений.

**Как работает рекурсия на примере 5!:**
1.  5! = 5 × 4!
2.  4! = 4 × 3!
3.  3! = 3 × 2!
4.  2! = 2 × 1!
5.  1! = 1 × 0!
6.  0! = 1 (базовый случай)

После этого происходит «обратный подъем»:
- 1! = 1 × 1 = 1
- 2! = 2 × 1 = 2
- 3! = 3 × 2 = 6
- 4! = 4 × 6 = 24
- 5! = 5 × 24 = **120**

Важное правило: факториал определен только для целых неотрицательных чисел. Выражения вроде (−2)! или 2,5! не имеют смысла в рамках обычной математики.

## Формула Стирлинга для больших чисел

Прямое перемножение для чисел вроде 100! практически невозможно. Для приближенного вычисления факториалов больших чисел применяют **формулу Стирлинга**.

**Основной вид формулы:**
n! ≈ √(2πn) × (n / e)^n
Где:
- π ≈ 3,1416 (число Пи)
- e ≈ 2,718 (основание натурального логарифма)

**Пример точности формулы для 10!:**
- Точное значение: 10! = 3 628 800.
- Приближение по Стирлингу: ≈ 3 598 696.
- Погрешность составляет менее 1% (около 0,83%).

**Приближение для 100!:**
Факториал 100! — число, состоящее более чем из 150 цифр. Формула Стирлинга дает оценку: 100! ≈ 9,33 × 10¹⁵⁷. Эта формула широко используется в теории вероятностей, статистике и анализе алгоритмов для оценки сложности.

## Таблица значений факториалов (от 0 до 10)

Готовая таблица избавляет от рутинных вычислений в стандартных задачах.

| Число (n) | Факториал (n!) |
|-----------|----------------|
| 0         | 1              |
| 1         | 1              |
| 2         | 2              |
| 3         | 6              |
| 4         | 24             |
| 5         | 120            |
| 6         | 720            |
| 7         | 5 040          |
| 8         | 40 320         |
| 9         | 362 880        |
| 10        | 3 628 800      |

## Практические задачи на факториал с решениями

Закрепите теорию на практике. Попробуйте решить задачи самостоятельно, а затем сверьтесь с ответами.

### Задача 1: Базовое вычисление
**Условие:** Вычислите: а) 7!; б) 8!; в) 0! + 1! + 2!.
**Решение и ответ:**
- а) 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = **5 040**
- б) 8! = 8 × 7! = 8 × 5 040 = **40 320**
- в) 0! + 1! + 2! = 1 + 1 + 2 = **4**

### Задача 2: Решение уравнения
**Условие:** Найдите n, если n! = 24.
**Решение:** Методом подбора определяем, что 4! = 24. Следовательно, **n = 4**.

### Задача 3: Упрощение выражения
**Условие:** Упростите выражение: 10! / (8! × 2!).
**Решение:**
10! / (8! × 2!) = (10 × 9 × 8!) / (8! × 2) = (10 × 9) / 2 = 90 / 2 = **45**.

### Задача 4: Уравнение с факториалом
**Условие:** Найдите n, если (n+1)! = 6 × n!.
**Решение:**
1.  Раскрываем факториал: (n+1)! = (n+1) × n!.
2.  Подставляем в уравнение: (n+1) × n! = 6 × n!.
3.  Сокращаем на n! (n! > 0): n + 1 = 6.
4.  Получаем ответ: **n = 5**.

### Задача 5: Два метода вычисления
**Условие:** Вычислите 7! итеративным (последовательное умножение) и рекурсивным методами.
**Решение:**
- **Итеративный метод:** 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5 040.
- **Рекурсивный метод:** 7! = 7 × 6! = 7 × 720 = 5 040.
**Ответ:** **5 040** (оба метода дают одинаковый результат).

---
**Дополнительные материалы по математике и логике**
Ищете больше понятных объяснений, задач с решениями и практических упражнений? На нашем сайте https://edu-life.tech вы найдете обширную коллекцию материалов по математике, комбинаторике и другим школьным предметам, которые помогут систематизировать знания и улучшить успеваемость.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?