Геометрическая прогрессия: формулы, свойства и примеры решения задач

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность. Каждый следующий член этой последовательности получается умножением предыдущего на постоянное число. Это постоянное число называется знаменателем прогрессии. Пример геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16. Здесь каждое следующее число в два раза больше предыдущего.

Основные формулы геометрической прогрессии

Для работы с геометрической прогрессией необходимо знать ключевые формулы.

1. Формула n-го члена прогрессии

Любой член геометрической прогрессии можно найти по формуле: b_n = b_1 * q^(n-1)

Обозначения в формуле:

• b_n — искомый n-й член прогрессии.
• b_1 — первый член прогрессии.
• q — знаменатель прогрессии.
• n — порядковый номер члена.

Если первый член неизвестен, но известен другой член b_k, используют формулу: b_n = b_k * q^(n-k)

2. Формула знаменателя прогрессии

Знаменатель q — это отношение любого члена прогрессии к предыдущему: q = b_(n+1) / b_n

Важное правило: ни первый член (b_1), ни знаменатель (q) не могут быть равны нулю.

Сумма членов геометрической прогрессии

Часто в задачах требуется найти сумму нескольких первых членов.

Сумма n первых членов

Если знаменатель q не равен 1, сумму находят по формуле: S_n = (b_1 * (q^n - 1)) / (q - 1)

В частном случае, когда знаменатель q = 1, все члены прогрессии равны между собой, и формула упрощается: S_n = b_1 * n

Сумма бесконечно убывающей прогрессии

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы (|q| < 1). Сумму всех её членов вычисляют по формуле: S = b_1 / (1 - q)

Свойства геометрической прогрессии

У геометрической прогрессии есть полезное характеристическое свойство. Квадрат любого её члена (кроме первого) равен произведению соседних с ним членов: (b_n)^2 = b_(n-1) * b_(n+1)

Пример свойства: Для прогрессии 2, 4, 8, 16, 32:

• 4² = 2 * 8 = 16
• 8² = 4 * 16 = 64

Это свойство часто используют для решения задач.

Примеры решения задач на геометрическую прогрессию

Лучший способ понять тему — решить задачи. Разберём три примера с пошаговыми решениями.

Задача 1: Найти конкретный член прогрессии

Условие: Первый член геометрической прогрессии b_1 = 5, знаменатель q = 4. Найдите семнадцатый член (b_17).

Решение:

1. Применяем формулу n-го члена: b_n = b_1 * q^(n-1).
2. Подставляем известные значения: b_17 = 5 * 4^(17-1) = 5 * 4^16.
3. Вычисляем: 4^16 = 65536, следовательно, b_17 = 5 * 65536 = 327680.

Ответ: 327680.

Задача 2: Найти сумму первых членов

Условие: Дана прогрессия b_n = 120 * 2^n. Найдите сумму её первых четырёх членов (S_4).

Решение:

1. Найдём знаменатель q. Для этого вычислим отношение двух последовательных членов, например, b_2 / b_1.
   • b_1 = 120 * 2^1 = 240
   • b_2 = 120 * 2^2 = 480
   • q = 480 / 240 = 2
2. Первый член мы уже нашли: b_1 = 240.
3. Находим сумму по формуле: S_4 = (b_1 * (q^4 - 1)) / (q - 1).
4. Подставляем: S_4 = (240 * (2^4 - 1)) / (2 - 1) = (240 * (16 - 1)) / 1 = 240 * 15 = 3600.

Ответ: 3600.

Задача 3: Найти неизвестный член, используя свойство

Условие: Дана геометрическая прогрессия: 14, -56, x, -224, 896. Найдите x.

Решение:

1. Воспользуемся свойством прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению соседних.
2. Для члена x соседними являются -56 и -224. Запишем свойство: x^2 = (-56) * (-224).
3. Вычисляем произведение: (-56) * (-224) = 12544.
4. Извлекаем квадратный корень: x = ±√12544 = ±112.
5. Определяем знак. Прогрессия имеет знаменатель q = -56 / 14 = -4. Поэтому после -56 должен идти -56 * (-4) = 224. Но в условии стоит x, а затем -224. Это означает, что знак у x должен быть положительным, чтобы при умножении на отрицательный знаменатель получить следующий отрицательный член (-224). Следовательно, x = 112.

Ответ: 112.

---

Дополнительные материалы по алгебре и геометрической прогрессии

Чтобы уверенно решать любые задачи на прогрессии, важно регулярно практиковаться. Больше готовых разборов, типовых заданий, конспектов и полезных материалов для учеников 8-11 классов, готовящихся к ОГЭ и ЕГЭ, вы найдете в нашей подборке на сайте https://edu-life.tech. Там вы сможете систематизировать знания и отработать решение задач на геометрическую прогрессию до автоматизма.