---
title: "Геометрическая прогрессия: формулы, свойства и примеры решения задач"
description: "Объясняем, что такое геометрическая прогрессия в алгебре. Разбираем формулы, свойства, знаменатель и сумму членов. Примеры задач с решениями для школьников."
canonical: https://edu-life.tech/articles/geometricheskaya-progressiya-formuly-svojstva-zadachi
tags: ["shkola", "matematika", "8-klass", "9-klass", "10-klass", "podgotovka-k-ege", "algebra"]
---

# Геометрическая прогрессия: формулы, свойства и примеры решения задач

## Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность. Каждый следующий член этой последовательности получается умножением предыдущего на постоянное число. Это постоянное число называется знаменателем прогрессии. Пример геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16. Здесь каждое следующее число в два раза больше предыдущего.

## Основные формулы геометрической прогрессии

Для работы с геометрической прогрессией необходимо знать ключевые формулы.

### 1. Формула n-го члена прогрессии

Любой член геометрической прогрессии можно найти по формуле:
`b_n = b_1 * q^(n-1)`

**Обозначения в формуле:**
- `b_n` — искомый n-й член прогрессии.
- `b_1` — первый член прогрессии.
- `q` — знаменатель прогрессии.
- `n` — порядковый номер члена.

Если первый член неизвестен, но известен другой член `b_k`, используют формулу:
`b_n = b_k * q^(n-k)`

### 2. Формула знаменателя прогрессии

Знаменатель `q` — это отношение любого члена прогрессии к предыдущему:
`q = b_(n+1) / b_n`

Важное правило: ни первый член (`b_1`), ни знаменатель (`q`) не могут быть равны нулю.

## Сумма членов геометрической прогрессии

Часто в задачах требуется найти сумму нескольких первых членов.

### Сумма n первых членов

Если знаменатель `q` не равен 1, сумму находят по формуле:
`S_n = (b_1 * (q^n - 1)) / (q - 1)`

В частном случае, когда знаменатель `q = 1`, все члены прогрессии равны между собой, и формула упрощается:
`S_n = b_1 * n`

### Сумма бесконечно убывающей прогрессии

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы (`|q| < 1`). Сумму всех её членов вычисляют по формуле:
`S = b_1 / (1 - q)`

## Свойства геометрической прогрессии

У геометрической прогрессии есть полезное характеристическое свойство. Квадрат любого её члена (кроме первого) равен произведению соседних с ним членов:
`(b_n)^2 = b_(n-1) * b_(n+1)`

**Пример свойства:**
Для прогрессии 2, 4, 8, 16, 32:
- 4² = 2 * 8 = 16
- 8² = 4 * 16 = 64

Это свойство часто используют для решения задач.

## Примеры решения задач на геометрическую прогрессию

Лучший способ понять тему — решить задачи. Разберём три примера с пошаговыми решениями.

### Задача 1: Найти конкретный член прогрессии

**Условие:** Первый член геометрической прогрессии `b_1 = 5`, знаменатель `q = 4`. Найдите семнадцатый член (`b_17`).

**Решение:**
1.  Применяем формулу n-го члена: `b_n = b_1 * q^(n-1)`.
2.  Подставляем известные значения: `b_17 = 5 * 4^(17-1) = 5 * 4^16`.
3.  Вычисляем: `4^16 = 65536`, следовательно, `b_17 = 5 * 65536 = 327680`.

**Ответ:** 327680.

### Задача 2: Найти сумму первых членов

**Условие:** Дана прогрессия `b_n = 120 * 2^n`. Найдите сумму её первых четырёх членов (`S_4`).

**Решение:**
1.  Найдём знаменатель `q`. Для этого вычислим отношение двух последовательных членов, например, `b_2 / b_1`.
    - `b_1 = 120 * 2^1 = 240`
    - `b_2 = 120 * 2^2 = 480`
    - `q = 480 / 240 = 2`
2.  Первый член мы уже нашли: `b_1 = 240`.
3.  Находим сумму по формуле: `S_4 = (b_1 * (q^4 - 1)) / (q - 1)`.
4.  Подставляем: `S_4 = (240 * (2^4 - 1)) / (2 - 1) = (240 * (16 - 1)) / 1 = 240 * 15 = 3600`.

**Ответ:** 3600.

### Задача 3: Найти неизвестный член, используя свойство

**Условие:** Дана геометрическая прогрессия: 14, -56, x, -224, 896. Найдите `x`.

**Решение:**
1.  Воспользуемся свойством прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению соседних.
2.  Для члена `x` соседними являются -56 и -224. Запишем свойство: `x^2 = (-56) * (-224)`.
3.  Вычисляем произведение: `(-56) * (-224) = 12544`.
4.  Извлекаем квадратный корень: `x = ±√12544 = ±112`.
5.  Определяем знак. Прогрессия имеет знаменатель `q = -56 / 14 = -4`. Поэтому после -56 должен идти `-56 * (-4) = 224`. Но в условии стоит `x`, а затем -224. Это означает, что знак у `x` должен быть положительным, чтобы при умножении на отрицательный знаменатель получить следующий отрицательный член (-224). Следовательно, `x = 112`.

**Ответ:** 112.

---

**Дополнительные материалы по алгебре и геометрической прогрессии**

Чтобы уверенно решать любые задачи на прогрессии, важно регулярно практиковаться. Больше готовых разборов, типовых заданий, конспектов и полезных материалов для учеников 8-11 классов, готовящихся к ОГЭ и ЕГЭ, вы найдете в нашей подборке на сайте https://edu-life.tech. Там вы сможете систематизировать знания и отработать решение задач на геометрическую прогрессию до автоматизма.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?