Хорда окружности: свойства, формулы, задачи с решениями

Хорда окружности: полный гид по свойствам и задачам

Хорда окружности — это отрезок, который соединяет две точки на окружности. Данный элемент является ключевым для решения множества геометрических задач. Знание свойств хорды позволяет вычислять расстояния, определять углы и устанавливать связи между другими элементами окружности. Эти навыки регулярно проверяются на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ.

Определение хорды окружности

Хорда окружности — отрезок, соединяющий две точки окружности. Самой длинной хордой в любой окружности является диаметр. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности.

Ключевые свойства хорды окружности

Свойства хорды образуют систему, где знание одного параметра помогает найти другие. Вот основные закономерности:

• Свойство радиуса и хорды: Радиус, проведенный перпендикулярно хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам. Верно и обратное утверждение.
• Свойство равных хорд: Хорды равной длины находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности и стягивают равные дуги.
• Свойство параллельных хорд: Дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.
• Свойство пересекающихся хорд: Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды. При пересечении также образуются две пары подобных треугольников.

Формулы для вычисления длины хорды

Длину хорды можно найти по разным формулам в зависимости от известных данных.

Формула 1: Через радиус и центральный угол

Используйте эту формулу, если известен радиус окружности (r) и центральный угол (α), опирающийся на искомую хорду: l = 2 * r * sin(α/2) Где:

• l — длина хорды
• r — радиус окружности
• α — центральный угол в градусах

Формула 2: Через радиус и расстояние до центра

Примените эту формулу, когда известны радиус окружности (r) и расстояние (d) от центра окружности до хорды: l = 2 * √(r² - d²) Где:

• l — длина хорды
• r — радиус окружности
• d — расстояние от центра до хорды

Практический совет: Первую формулу легко вывести из теоремы синусов для треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Вторая формула является прямым следствием теоремы Пифагора.

Разбор задач на хорду окружности с решениями

Закрепим теорию на практике. Ниже представлены типовые задачи с пошаговыми решениями.

Задача 1

Условие: В окружности радиусом 13 см проведена хорда AB. Расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см. Найдите длину хорды AB. Решение:

1. Расстояние от центра до хорды — это перпендикуляр OH. Он делит хорду AB пополам.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник OHB. Катет OH = 5 см, гипотенуза OB (радиус) = 13 см.
3. По теореме Пифагора находим катет HB: HB = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.
4. Вся хорда AB = 2 * HB = 2 * 12 = 24 см. Ответ: 24 см.

Задача 2

Условие: Хорды AC и BD пересекаются в точке E. Известно, что AE = 3 см, CE = 9 см, DE = 4 см. Найдите длину отрезка BE. Решение:

1. Применяем свойство пересекающихся хорд: AE × EC = BE × ED.
2. Подставляем значения: 3 × 9 = BE × 4.
3. Получаем: 27 = 4 × BE, откуда BE = 27 / 4 = 6.75 см. Ответ: 6.75 см.

Задача 3

Условие: В окружности проведены две равные хорды AB и CD. Хорда AB удалена от центра на 6 см. На каком расстоянии от центра находится хорда CD? Решение:

1. По свойству равных хорд: равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
2. Следовательно, расстояние от центра до хорды CD также равно 6 см. Ответ: 6 см.

Задача 4

Условие: В окружности проведены параллельные хорды AB и CD. Градусная мера дуги AB равна 30°, а дуги BD равна 50°. Найдите градусную меру дуги CD. Решение:

1. По свойству параллельных хорд: дуги, заключенные между ними, равны. Значит, ◡AC = ◡BD = 50°.
2. Полная окружность — 360°. Находим дугу CD: ◡CD = 360° - (◡AC + ◡AB + ◡BD) = 360° - (50° + 30° + 50°) = 230°. Ответ: 230°.

Задача 5

Условие: В окружности радиусом 10 см две параллельные хорды AB и CD расположены по одну сторону от центра. Расстояние от центра до AB равно 6 см, до CD — 8 см. Найдите расстояние между хордами. Решение:

1. Поскольку хорды находятся по одну сторону от центра, расстояние между ними равно разности расстояний от центра до каждой хорды.
2. Вычисляем: 8 см - 6 см = 2 см. Ответ: 2 см.

Задача 6

Условие: В окружности радиусом 8 см проведена хорда, стягивающая дугу в 90°. Найдите длину этой хорды. Решение:

1. Центральный угол, опирающийся на дугу в 90°, также равен 90° (α = 90°).
2. Используем формулу длины хорды через радиус и центральный угол: l = 2 * r * sin(α/2) = 2 * 8 * sin(45°) = 16 * (√2/2) = 8√2 см. Ответ: 8√2 см.

Задача 7

Условие: В окружности радиусом 10 см хорда находится на расстоянии 6 см от центра. Найдите длину хорды. Решение:

1. Применяем формулу длины хорды через радиус и расстояние до центра: l = 2 * √(r² - d²).
2. Подставляем значения: l = 2 * √(10² - 6²) = 2 * √(100 - 36) = 2 * √64 = 2 * 8 = 16 см. Ответ: 16 см.

Дополнительные материалы по геометрии

Больше готовых разборов задач, теоретических конспектов, интерактивных тестов и полезных шпаргалок по геометрии и другим школьным предметам вы найдете в нашей базе материалов на сайте https://edu-life.tech. У нас есть специальные подборки для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.