---
title: "Хорда окружности: свойства, формулы, задачи с решениями"
description: "Полное руководство по хорде окружности: определение, ключевые свойства, формулы длины и разбор задач с решениями для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ."
canonical: https://edu-life.tech/articles/horda-okruzhnosti-svojstva-formuly-zadachi
tags: ["shkola", "matematika", "7-klass", "8-klass", "9-klass", "10-klass", "11-klass"]
---

# Хорда окружности: свойства, формулы, задачи с решениями

## Хорда окружности: полный гид по свойствам и задачам

Хорда окружности — это отрезок, который соединяет две точки на окружности. Данный элемент является ключевым для решения множества геометрических задач. Знание свойств хорды позволяет вычислять расстояния, определять углы и устанавливать связи между другими элементами окружности. Эти навыки регулярно проверяются на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ.

### Определение хорды окружности

Хорда окружности — отрезок, соединяющий две точки окружности. Самой длинной хордой в любой окружности является диаметр. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности.

### Ключевые свойства хорды окружности

Свойства хорды образуют систему, где знание одного параметра помогает найти другие. Вот основные закономерности:

- **Свойство радиуса и хорды**: Радиус, проведенный перпендикулярно хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам. Верно и обратное утверждение.
- **Свойство равных хорд**: Хорды равной длины находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности и стягивают равные дуги.
- **Свойство параллельных хорд**: Дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.
- **Свойство пересекающихся хорд**: Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды. При пересечении также образуются две пары подобных треугольников.

### Формулы для вычисления длины хорды

Длину хорды можно найти по разным формулам в зависимости от известных данных.

#### Формула 1: Через радиус и центральный угол

Используйте эту формулу, если известен радиус окружности (r) и центральный угол (α), опирающийся на искомую хорду:
`l = 2 * r * sin(α/2)`
Где:
- `l` — длина хорды
- `r` — радиус окружности
- `α` — центральный угол в градусах

#### Формула 2: Через радиус и расстояние до центра

Примените эту формулу, когда известны радиус окружности (r) и расстояние (d) от центра окружности до хорды:
`l = 2 * √(r² - d²)`
Где:
- `l` — длина хорды
- `r` — радиус окружности
- `d` — расстояние от центра до хорды

**Практический совет**: Первую формулу легко вывести из теоремы синусов для треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Вторая формула является прямым следствием теоремы Пифагора.

### Разбор задач на хорду окружности с решениями

Закрепим теорию на практике. Ниже представлены типовые задачи с пошаговыми решениями.

#### Задача 1
**Условие**: В окружности радиусом 13 см проведена хорда AB. Расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см. Найдите длину хорды AB.
**Решение**:
1.  Расстояние от центра до хорды — это перпендикуляр OH. Он делит хорду AB пополам.
2.  Рассмотрим прямоугольный треугольник OHB. Катет OH = 5 см, гипотенуза OB (радиус) = 13 см.
3.  По теореме Пифагора находим катет HB: HB = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.
4.  Вся хорда AB = 2 * HB = 2 * 12 = 24 см.
**Ответ**: 24 см.

#### Задача 2
**Условие**: Хорды AC и BD пересекаются в точке E. Известно, что AE = 3 см, CE = 9 см, DE = 4 см. Найдите длину отрезка BE.
**Решение**:
1.  Применяем свойство пересекающихся хорд: AE × EC = BE × ED.
2.  Подставляем значения: 3 × 9 = BE × 4.
3.  Получаем: 27 = 4 × BE, откуда BE = 27 / 4 = 6.75 см.
**Ответ**: 6.75 см.

#### Задача 3
**Условие**: В окружности проведены две равные хорды AB и CD. Хорда AB удалена от центра на 6 см. На каком расстоянии от центра находится хорда CD?
**Решение**:
1.  По свойству равных хорд: равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
2.  Следовательно, расстояние от центра до хорды CD также равно 6 см.
**Ответ**: 6 см.

#### Задача 4
**Условие**: В окружности проведены параллельные хорды AB и CD. Градусная мера дуги AB равна 30°, а дуги BD равна 50°. Найдите градусную меру дуги CD.
**Решение**:
1.  По свойству параллельных хорд: дуги, заключенные между ними, равны. Значит, ◡AC = ◡BD = 50°.
2.  Полная окружность — 360°. Находим дугу CD: ◡CD = 360° - (◡AC + ◡AB + ◡BD) = 360° - (50° + 30° + 50°) = 230°.
**Ответ**: 230°.

#### Задача 5
**Условие**: В окружности радиусом 10 см две параллельные хорды AB и CD расположены по одну сторону от центра. Расстояние от центра до AB равно 6 см, до CD — 8 см. Найдите расстояние между хордами.
**Решение**:
1.  Поскольку хорды находятся по одну сторону от центра, расстояние между ними равно разности расстояний от центра до каждой хорды.
2.  Вычисляем: 8 см - 6 см = 2 см.
**Ответ**: 2 см.

#### Задача 6
**Условие**: В окружности радиусом 8 см проведена хорда, стягивающая дугу в 90°. Найдите длину этой хорды.
**Решение**:
1.  Центральный угол, опирающийся на дугу в 90°, также равен 90° (α = 90°).
2.  Используем формулу длины хорды через радиус и центральный угол: l = 2 * r * sin(α/2) = 2 * 8 * sin(45°) = 16 * (√2/2) = 8√2 см.
**Ответ**: 8√2 см.

#### Задача 7
**Условие**: В окружности радиусом 10 см хорда находится на расстоянии 6 см от центра. Найдите длину хорды.
**Решение**:
1.  Применяем формулу длины хорды через радиус и расстояние до центра: l = 2 * √(r² - d²).
2.  Подставляем значения: l = 2 * √(10² - 6²) = 2 * √(100 - 36) = 2 * √64 = 2 * 8 = 16 см.
**Ответ**: 16 см.

### Дополнительные материалы по геометрии

Больше готовых разборов задач, теоретических конспектов, интерактивных тестов и полезных шпаргалок по геометрии и другим школьным предметам вы найдете в нашей базе материалов на сайте https://edu-life.tech. У нас есть специальные подборки для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?