Касательная к окружности: свойства, задачи, решения для 7-9 класса

Касательная к окружности: определение и геометрический смысл

Касательная к окружности — это прямая линия, имеющая с окружностью единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания. Касательная представляет собой предельный случай секущей, когда две точки пересечения сливаются в одну. Все остальные прямые либо не пересекают окружность, либо являются секущими и пересекают её в двух точках.

Ключевые свойства касательной к окружности

Свойства касательной устанавливают строгие связи между отрезками, углами и радиусами. Понимание этих свойств — основа для решения задач.

Свойство 1: Касательная и радиус

Радиус окружности, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной.

• Entity: Радиус OA.
• Attribute: Взаимное расположение с касательной.
• Value: Перпендикулярность (угол 90°). Это фундаментальное свойство используется в большинстве доказательств и конструкций с окружностями.

Свойство 2: Две касательные из одной точки

Если из точки, лежащей вне окружности, провести две касательные, то:

1. Отрезки касательных от внешней точки до точек касания равны.
2. Луч, проведённый из внешней точки через центр окружности, является биссектрисой угла между касательными.

Свойство 3: Касательная и секущая

Если из одной внешней точки проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на длину её внешней части.

• Формула: KN² = KL × KM Это свойство позволяет находить неизвестные длины без сложных вычислений.

Свойство 4: Касательная и хорда

Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, измеряется половиной дуги, которую стягивает эта хорда.

• Entity: Угол ABC (между касательной AB и хордой BC).
• Attribute: Величина.
• Value: Равна ½ ◡BC. Это свойство связывает теорию касательных с теорией вписанных углов.

Практические задачи с решениями

Решите эти задачи, чтобы закрепить свойства на практике. Каждое решение демонстрирует применение конкретного свойства.

Задача 1: Нахождение угла

Условие: К окружности с центром O проведена касательная MA (A — точка касания). Найдите ∠OMA, если ∠AOM = 60°.

Решение:

1. По свойству 1: OA ⟂ AM, следовательно, ∠OAM = 90°.
2. В треугольнике AOM: ∠OMA = 180° — (60° + 90°) = 30°.

Ответ: 30°.

Задача 2: Равенство отрезков касательных

Условие: Из точки C к окружности проведены две касательные CA и CB. Найдите CB, если CA = 15 см.

Решение: По свойству 2 отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: CB = CA = 15 см.

Ответ: 15 см.

Задача 3: Применение свойства касательной и секущей

Условие: Из точки K к окружности проведены касательная (KN = 8 см) и секущая (KM = 16 см). Найдите длину отрезка секущей внутри окружности (LM).

Решение:

1. По свойству 3: KN² = KL × KM.
2. 8² = KL × 16 → KL = 64 / 16 = 4 см.
3. LM = KM — KL = 16 — 4 = 12 см.

Ответ: 12 см.

Задача 4: Угол между касательной и хордой

Условие: К окружности проведены касательная AB и хорда BC. Найдите ∠ABC, если меньшая дуга BC равна 80°.

Решение: По свойству 4: ∠ABC = ½ ◡BC = ½ × 80° = 40°.

Ответ: 40°.

Задача 5: Угол между двумя касательными

Условие: Из точки P к окружности с центром O проведены две касательные PA и PB. Найдите ∠APB, если ∠OPA = 40°.

Решение:

1. По свойству 2 луч PO — биссектриса ∠APB.
2. Следовательно, ∠APB = 2 × ∠OPA = 2 × 40° = 80°.

Ответ: 80°.

Дополнительные материалы для изучения геометрии

Для успешного освоения темы «Окружность» важно практиковаться на разнообразных задачах. Больше готовых разборов, теоретических конспектов, задач с ответами и шаблонов для решения вы найдёте в нашем специальном разделе для учеников 7–9 классов на сайте https://edu-life.tech. Там собраны материалы, которые помогут систематизировать знания и уверенно подготовиться к контрольным работам, ОГЭ и ЕГЭ.