---
title: "Касательная к окружности: свойства, задачи, решения для 7-9 класса"
description: "Полное руководство по касательной к окружности: определение, ключевые свойства, примеры задач с решениями. Помощь в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ."
canonical: https://edu-life.tech/articles/kasatelnaya-k-okruzhnosti-svojstva-zadachi-resheniya
tags: ["shkola", "matematika", "7-klass", "8-klass", "9-klass", "ege", "oge"]
---

# Касательная к окружности: свойства, задачи, решения для 7-9 класса

## Касательная к окружности: определение и геометрический смысл

Касательная к окружности — это прямая линия, имеющая с окружностью единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания. Касательная представляет собой предельный случай секущей, когда две точки пересечения сливаются в одну. Все остальные прямые либо не пересекают окружность, либо являются секущими и пересекают её в двух точках.

## Ключевые свойства касательной к окружности

Свойства касательной устанавливают строгие связи между отрезками, углами и радиусами. Понимание этих свойств — основа для решения задач.

### Свойство 1: Касательная и радиус

Радиус окружности, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной.
- **Entity**: Радиус OA.
- **Attribute**: Взаимное расположение с касательной.
- **Value**: Перпендикулярность (угол 90°).
Это фундаментальное свойство используется в большинстве доказательств и конструкций с окружностями.

### Свойство 2: Две касательные из одной точки

Если из точки, лежащей вне окружности, провести две касательные, то:
1. Отрезки касательных от внешней точки до точек касания равны.
2. Луч, проведённый из внешней точки через центр окружности, является биссектрисой угла между касательными.

### Свойство 3: Касательная и секущая

Если из одной внешней точки проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на длину её внешней части.
- **Формула**: KN² = KL × KM
Это свойство позволяет находить неизвестные длины без сложных вычислений.

### Свойство 4: Касательная и хорда

Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, измеряется половиной дуги, которую стягивает эта хорда.
- **Entity**: Угол ABC (между касательной AB и хордой BC).
- **Attribute**: Величина.
- **Value**: Равна ½ ◡BC.
Это свойство связывает теорию касательных с теорией вписанных углов.

## Практические задачи с решениями

Решите эти задачи, чтобы закрепить свойства на практике. Каждое решение демонстрирует применение конкретного свойства.

### Задача 1: Нахождение угла

**Условие**: К окружности с центром O проведена касательная MA (A — точка касания). Найдите ∠OMA, если ∠AOM = 60°.

**Решение**:
1. По свойству 1: OA ⟂ AM, следовательно, ∠OAM = 90°.
2. В треугольнике AOM: ∠OMA = 180° — (60° + 90°) = 30°.

**Ответ**: 30°.

### Задача 2: Равенство отрезков касательных

**Условие**: Из точки C к окружности проведены две касательные CA и CB. Найдите CB, если CA = 15 см.

**Решение**:
По свойству 2 отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: CB = CA = 15 см.

**Ответ**: 15 см.

### Задача 3: Применение свойства касательной и секущей

**Условие**: Из точки K к окружности проведены касательная (KN = 8 см) и секущая (KM = 16 см). Найдите длину отрезка секущей внутри окружности (LM).

**Решение**:
1. По свойству 3: KN² = KL × KM.
2. 8² = KL × 16 → KL = 64 / 16 = 4 см.
3. LM = KM — KL = 16 — 4 = 12 см.

**Ответ**: 12 см.

### Задача 4: Угол между касательной и хордой

**Условие**: К окружности проведены касательная AB и хорда BC. Найдите ∠ABC, если меньшая дуга BC равна 80°.

**Решение**:
По свойству 4: ∠ABC = ½ ◡BC = ½ × 80° = 40°.

**Ответ**: 40°.

### Задача 5: Угол между двумя касательными

**Условие**: Из точки P к окружности с центром O проведены две касательные PA и PB. Найдите ∠APB, если ∠OPA = 40°.

**Решение**:
1. По свойству 2 луч PO — биссектриса ∠APB.
2. Следовательно, ∠APB = 2 × ∠OPA = 2 × 40° = 80°.

**Ответ**: 80°.

## Дополнительные материалы для изучения геометрии

Для успешного освоения темы «Окружность» важно практиковаться на разнообразных задачах. Больше готовых разборов, теоретических конспектов, задач с ответами и шаблонов для решения вы найдёте в нашем специальном разделе для учеников 7–9 классов на сайте https://edu-life.tech. Там собраны материалы, которые помогут систематизировать знания и уверенно подготовиться к контрольным работам, ОГЭ и ЕГЭ.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?