Многочлены в алгебре: определение, действия, примеры, задачи

Что такое многочлены в алгебре

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов. Каждый отдельный одночлен называют членом многочлена. Например, выражения 3x² + 2x - 5 и a³b - 4ab + 7 являются многочленами.

Основные характеристики многочленов

Для удобства работы с многочленами используйте таблицу-шпаргалку.

Характеристика	Описание	Пример
Члены многочлена	Одночлены, входящие в сумму	В 4x³ - 2x² + 5x члены: 4x³, -2x², 5x
Коэффициенты	Числовые множители перед переменными	В члене 4x³ коэффициент равен 4
Старший коэффициент	Коэффициент при члене с наивысшей степенью	В 4x³ - 2x² + 5x старший коэффициент: 4
Степень многочлена	Наибольшая степень среди всех членов	Степень 4x³ - 2x² + 5x равна 3
Свободный член	Член без переменной (степень 0)	В x² - x + 3 свободный член: 3

Приведение многочлена к стандартному виду

Алгоритм приведения включает два ключевых шага. Сначала каждый одночлен приводят к стандартному виду. Затем выполняют сложение или вычитание подобных одночленов.

Рассмотрим пример: 3xy × 5y — 2y × 7x² — x × 4yx.

1. Приводим одночлены: 15xy², -14x²y, -4x²y.
2. Складываем подобные: -14x²y и -4x²y дают -18x²y. Результат: 15xy² — 18x²y.

Степень многочлена: как определить

Чтобы найти степень многочлена, сначала приведите его к стандартному виду. Затем определите степень каждого члена. Степенью всего многочлена будет наибольшее из этих значений.

Пример для многочлена 4ba × b + 15aaba² — 2a + 7 — 5ab²:

1. Стандартный вид: 15a⁴b — ab² — 2a + 7.
2. Степени членов: 5 (у 15a⁴b), 3 (у -ab²), 1 (у -2a), 0 (у 7).
3. Степень многочлена: 5.

Сложение и вычитание многочленов

Действия выполняются по простому алгоритму. Запишите многочлены в скобках. Раскройте скобки, учитывая знак перед ними. Приведите подобные члены.

Пример сложения: (2x² + 3x) + (x² - x) = 2x² + 3x + x² - x = 3x² + 2x. Пример вычитания: (4y³ + 2y) - (y³ - 3y) = 4y³ + 2y - y³ + 3y = 3y³ + 5y.

Умножение многочленов

Для умножения многочлена на многочлен каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго. Затем полученные произведения складывают, приводя подобные слагаемые.

Пример: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Более сложный пример: (2x + 3)(x - 1) = 2xx + 2x(-1) + 3x + 3(-1) = 2x² - 2x + 3x - 3 = 2x² + x - 3.

Деление многочленов

Деление на одночлен

Каждый член многочлена делят на данный одночлен, а результаты складывают. Пример: (6x³ — 9x² + 3x) : 3x = (6x³/3x) — (9x²/3x) + (3x/3x) = 2x² — 3x + 1.

Деление на многочлен (уголком)

Алгоритм аналогичен делению чисел в столбик. Делим старший член делимого на старший член делителя. Результат умножаем на весь делитель и вычитаем из делимого. Процесс повторяем с новым остатком, пока его степень не станет меньше степени делителя. Пример деления x³ - 6x² + 11x - 6 на x - 2 дает результат x² - 4x + 3.

Разложение многочлена на множители

Существует три основных метода.

1. Вынесение общего множителя

Формула: ax + ay = a(x + y). Пример: 6x² — 12x = 6x(x — 2).

2. Использование формул сокращенного умножения

Основные формулы:

• Разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b). Пример: x² - 9 = (x - 3)(x + 3).
• Квадрат суммы: a² + 2ab + b² = (a + b)².
• Квадрат разности: a² - 2ab + b² = (a - b)².
• Сумма и разность кубов.

3. Метод группировки

Члены группируют так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, а затем выносят общую скобку. Пример: 2x² + 4x + xy + 2y = 2x(x + 2) + y(x + 2) = (x + 2)(2x + y).

Практические задачи по теме «Многочлены»

Проверьте свое понимание, решив эти задачи.

1. Задача 1: Приведите к стандартному виду: 5x² - 3x + 2x² + 7x - 1 + x³.

   • Решение: x³ + (5x²+2x²) + (-3x+7x) - 1 = x³ + 7x² + 4x - 1.

2. Задача 2: Выполните вычитание: (4x³ + 2x² - x + 6) - (x³ - 3x² + 5x - 2).

   • Решение: 4x³ + 2x² - x + 6 - x³ + 3x² - 5x + 2 = 3x³ + 5x² - 6x + 8.

3. Задача 3: Разложите на множители: 72a⁸ + 48a⁴ - 56a⁷.

   • Решение: Выносим 8a⁴: 8a⁴(9a⁴ + 6 - 7a³) = 8a⁴(9a⁴ - 7a³ + 6).

4. Задача 4: Выполните умножение: (xy³ + x)(-yz + 3z).

   • Решение: xy³*(-yz) + xy³3z + x(-yz) + x*3z = -xy⁴z + 3xy³z - xyz + 3xz.

Дополнительные материалы по алгебре Для закрепления темы многочленов и изучения других разделов математики, включая готовые рабочие тетради, задания и конспекты для учеников 7-9 классов, посетите наш образовательный портал: https://edu-life.tech.