Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры, задачи

Что такое наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из заданных чисел без остатка. Понятие НОК активно используется не только в школьной программе, но и в реальной жизни. Учителя применяют НОК для составления расписаний, программисты — в алгоритмах, а инженеры — для синхронизации циклов работы механизмов.

Ключевые термины для понимания НОК

Чтобы легко разобраться с НОК, вспомним базовые определения:

• Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, 4 и так далее.
• Кратное число — это натуральное число, которое делится на другое натуральное число без остатка. Например, число 27 кратно 3, потому что 27 : 3 = 9.

Таким образом, НОК двух чисел — это самое маленькое число, которое делится без остатка и на первое, и на второе число. Пример: для чисел 5 и 9 наименьшее общее кратное равно 45.

Пошаговая инструкция: как найти НОК

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного состоит из четырех четких шагов. Рассмотрим его на примере чисел 84 и 90.

Шаг 1. Разложение чисел на простые множители

Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел. Начинайте деление с числа 2, затем переходите к 3, 5, 7 и так далее, пока исходное число не будет полностью разложено.

Результат разложения для нашего примера:

• Число 84 = 2² × 3 × 7
• Число 90 = 2 × 3² × 5

Шаг 2. Выбор максимальных степеней простых множителей

Для нахождения НОК необходимо взять все простые множители, которые встречаются в разложениях, в их наибольших степенях. Из разложений чисел 84 и 90 мы берем:

• Множитель 2 в степени 2 (из числа 84).
• Множитель 3 в степени 2 (из числа 90).
• Множитель 5 (из числа 90).
• Множитель 7 (из числа 84).

Шаг 3. Вычисление НОК

Перемножьте выбранные максимальные степени простых множителей: НОК (84; 90) = 2² × 3² × 5 × 7

Произведем вычисления:

1. 2² = 4
2. 3² = 9
3. 4 × 9 = 36
4. 36 × 5 = 180
5. 180 × 7 = 1260

Шаг 4. Запись ответа

Финальный ответ записывается следующим образом: НОК (84; 90) = 1260

Примеры нахождения НОК для разных случаев

Закрепим алгоритм на дополнительных примерах.

Пример 1: НОК для чисел 672 и 945

1. Разложение на множители:
   • 672 = 2⁵ × 3 × 7
   • 945 = 3³ × 5 × 7
2. Выбор максимальных степеней: Берем 2⁵, 3³, 5, 7.
3. Вычисление: НОК = 2⁵ × 3³ × 5 × 7 = 32 × 27 × 5 × 7 = 30 240

Ответ: НОК (672; 945) = 30 240

Пример 2: НОК для трех чисел (18, 24, 30)

Алгоритм для трех и более чисел не меняется.

1. Разложение на множители:
   • 18 = 2 × 3²
   • 24 = 2³ × 3
   • 30 = 2 × 3 × 5
2. Выбор максимальных степеней: Из всех разложений берем 2³, 3², 5.
3. Вычисление: НОК = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360

Ответ: НОК (18; 24; 30) = 360

Практические задачи на нахождение НОК

Проверьте свое понимание темы, решив следующие задачи.

Задача 1

Найдите наименьшее общее кратное чисел 252 и 378.

Задача 2 (прикладная)

Школьный звонок звучит каждые 45 минут, а автобус подъезжает к остановке каждые 15 минут. Через сколько минут звонок и приезд автобуса произойдут одновременно?

Задача 3 (прикладная)

Четыре тренера проводят занятия по разным графикам: первый — раз в 4 дня, второй — раз в 5 дней, третий — раз в 6 дней, четвертый — раз в 10 дней. Через сколько дней все четверо встретятся в спортзале?

Ответы и решения задач

Сверим полученные результаты.

Решение задачи 1

1. Разложение: 252 = 2² × 3² × 7; 378 = 2 × 3³ × 7.
2. Выбор множителей: 2², 3³, 7.
3. Вычисление: НОК = 2² × 3³ × 7 = 4 × 27 × 7 = 756.

Ответ: НОК (252; 378) = 756

Решение задачи 2

Нужно найти НОК чисел 45 и 15.

1. Разложение: 45 = 3² × 5; 15 = 3 × 5.
2. Выбор множителей: 3², 5.
3. Вычисление: НОК = 3² × 5 = 9 × 5 = 45.

Ответ: События совпадут через 45 минут.

Решение задачи 3

Нужно найти НОК чисел 4, 5, 6, 10.

1. Разложение: 4 = 2²; 5 = 5; 6 = 2 × 3; 10 = 2 × 5.
2. Выбор максимальных степеней: 2², 3, 5.
3. Вычисление: НОК = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60.

Ответ: Все тренеры встретятся через 60 дней.

Надеемся, этот материал помог вам уверенно разобраться в теме наименьшего общего кратного. Для успешного освоения математики важна регулярная практика.

Дополнительные материалы для 1 класса Больше готовых рабочих тетрадей, интересных заданий, конспектов и полезных материалов для учеников 1 класса и их родителей вы найдете на нашем сайте https://edu-life.tech.