Описанная окружность: определение, свойства, задачи для 7-9 класса

Что такое описанная окружность в геометрии

Описанная окружность — это геометрическая фигура, которая проходит через все вершины заданного многоугольника. Многоугольник в такой ситуации называется вписанным в окружность. Определение соответствует формулировке из учебника Л. С. Атанасяна «Геометрия. 7–9 классы», входящего в Федеральный перечень.

Центр описанной окружности обладает ключевым свойством: он равноудален от всех вершин вписанной фигуры. Это прямо следует из определения окружности как множества точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Возможность построения описанной окружности — особое свойство фигуры. Например, окружность можно описать вокруг любого треугольника, но для четырехугольников и других многоугольников необходимо выполнение строгих условий.

Ключевые факты об описанной окружности

Для уверенной работы с темой запомните основные элементы и отличия. Следующая таблица систематизирует важную информацию.

Элемент	Описание
Определение	Окружность, проходящая через все вершины многоугольника.
Вписанная фигура	Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности.
Расположение центра	Точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника.
Условие существования	Для треугольника — всегда; для четырехугольника — сумма противоположных углов равна 180°.

Описанная окружность около треугольника

Вокруг любого треугольника можно описать ровно одну окружность. Центр этой окружности — замечательная точка треугольника, называемая центром описанной окружности или циркумцентром.

Свойства описанной окружности для треугольника

Свойства связывают центр и радиус окружности со сторонами и углами треугольника, что служит основой для теорем и формул.

1. Построение центра: Центр окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
2. Расположение центра:
   • Для остроугольного треугольника — внутри.
   • Для прямоугольного треугольника — на середине гипотенузы.
   • Для тупоугольного треугольника — вне фигуры.
3. Формула площади: Площадь вписанного треугольника равна S = (a * b * c) / (4R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.
4. Формула радиуса: Радиус можно найти через стороны и площадь: R = (a * b * c) / (4S).
5. Специальные случаи:
   • Для равностороннего треугольника: R = a / √3.
   • Для прямоугольного треугольника: R = c / 2, где c — гипотенуза. Медиана к гипотенузе равна ее половине и совпадает с радиусом.
6. Теорема синусов: Является ключевым следствием и выражает связь сторон, углов и радиуса: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.

Описанная окружность около четырехугольника

Окружность можно описать не около каждого четырехугольника. Необходимым и достаточным условием является признак вписанного четырехугольника: сумма его противоположных углов должна равняться 180°.

Свойства описанной окружности для четырехугольника

1. Основное свойство: Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны 180°.
2. Частные случаи: Окружность всегда можно описать около прямоугольника, квадрата и равнобедренной трапеции, так как для них выполняется основное условие.
3. Центр окружности: Находится на пересечении серединных перпендикуляров к любым двум сторонам.
4. Теорема Птолемея: Для вписанного четырехугольника произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон (d1 * d2 = a*c + b*d).
5. Подобие треугольников: Диагонали разбивают вписанный четырехугольник на четыре треугольника, образующие две пары подобных фигур.
6. Квадрат: Если вписанный четырехугольник — квадрат, то радиус описанной окружности равен половине его диагонали: R = d / 2.
7. Внешний угол: Величина внешнего угла вписанного четырехугольника равна величине внутреннего угла, не смежного с ним.

Описанная окружность около правильного многоугольника

Окружность можно описать около любого правильного n-угольника. Для произвольных многоугольников с числом сторон больше четырех это возможно лишь при специальных условиях, но в школьном курсе основное внимание уделяется правильным фигурам.

Свойства описанной окружности для правильного n-угольника

1. Центр: Центр описанной окружности совпадает с центром правильного многоугольника (точка, равноудаленная от всех вершин).
2. Радиус как биссектриса: Радиус, проведенный в вершину, является биссектрисой внутреннего угла многоугольника.
3. Формула площади: S = (n * R² * sin(360°/n)) / 2, где n — число сторон, R — радиус.
4. Формула радиуса через сторону: R = a / (2 * sin(180°/n)), где a — сторона многоугольника.

Практический совет: Формулы для радиуса и площади выводятся из рассмотрения равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и стороной многоугольника. Центральный угол этого треугольника равен 360°/n.

Применение в архитектуре и искусстве

Правильные многоугольники, вписанные в окружность, исторически служили основой гармоничных пропорций.

• Архитектурный пример: Римский Пантеон. Его купол и цилиндрическое основание можно представить как правильный многоугольник с большим числом сторон, вписанный в окружность, что создает ощущение космического порядка.
• Пример из искусства: Рисунок Леонардо да Винчи «Витрувианский человек». Художник вписал фигуру человека в круг и квадрат, исследуя идеальные пропорции. Круг (описанная окружность) здесь символизирует божественное совершенство и точную геометрию, к которой стремились творцы.

Решение задач по теме «Описанная окружность»

Лучший способ закрепить теорию — решать задачи. Начнем с простых упражнений и перейдем к более сложным.

Задача 1

Условие: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см. Найдите радиус описанной окружности.

Решение: Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Следовательно, радиус равен ее половине. R = c / 2 = 26 / 2 = 13 (см).

Ответ: 13 см.

Задача 2

Условие: Один из углов вписанного в окружность четырехугольника равен 83°. Найдите величину противоположного ему угла.

Решение: По основному свойству вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180°. Искомый угол = 180° — 83° = 97°.

Ответ: 97°.

Задача 3

Условие: Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Найдите радиус описанной окружности.

Решение:

1. Найдем полупериметр: p = (4 + 13 + 15) / 2 = 16 (см).
2. Найдем площадь по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(16*12*3*1) = √576 = 24 (см²).
3. Используем формулу радиуса: R = (a * b * c) / (4S) = (4 * 13 * 15) / (4 * 24) = 780 / 96 = 8,125 (см).

Ответ: 8,125 см.

Задача 4

Условие: Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

Решение: Для равностороннего треугольника связь радиуса и стороны: R = a / √3. Выразим сторону: a = R * √3 = 10√3 (см).

Ответ: 10√3 см.

Задача 5

Условие: Около правильного шестиугольника описана окружность. Сторона шестиугольника равна 8 см. Найдите радиус этой окружности.

Решение: Используем формулу радиуса для правильного n-угольника: R = a / (2 * sin(180°/n)). Для шестиугольника (n=6): sin(180°/6) = sin(30°) = 1/2. Подставляем: R = 8 / (2 * (1/2)) = 8 / 1 = 8 (см).

Ответ: 8 см.

Дополнительные материалы по геометрии для 7-9 классов Больше готовых конспектов, разборов теорем, алгоритмов решения задач и практических упражнений по геометрии и другим школьным предметам вы найдете в нашей базе материалов на сайте https://edu-life.tech.