---
title: "Описанная окружность: определение, свойства, задачи для 7-9 класса"
description: "Полное руководство по описанной окружности: определение, свойства для треугольника, четырехугольника, правильного многоугольника. Примеры задач с решениями для 7-9 класса."
canonical: https://edu-life.tech/articles/opisannaya-okruzhnost-opredelenie-svojstva-zadachi
tags: ["shkola", "7-klass", "8-klass", "9-klass", "geometriya", "zadachi-po-geometrii", "opisannaya-okruzhnost"]
---

# Описанная окружность: определение, свойства, задачи для 7-9 класса

## Что такое описанная окружность в геометрии

Описанная окружность — это геометрическая фигура, которая проходит через все вершины заданного многоугольника. Многоугольник в такой ситуации называется вписанным в окружность. Определение соответствует формулировке из учебника Л. С. Атанасяна «Геометрия. 7–9 классы», входящего в Федеральный перечень.

Центр описанной окружности обладает ключевым свойством: он равноудален от всех вершин вписанной фигуры. Это прямо следует из определения окружности как множества точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Возможность построения описанной окружности — особое свойство фигуры. Например, окружность можно описать вокруг любого треугольника, но для четырехугольников и других многоугольников необходимо выполнение строгих условий.

## Ключевые факты об описанной окружности

Для уверенной работы с темой запомните основные элементы и отличия. Следующая таблица систематизирует важную информацию.

| Элемент | Описание |
| :--- | :--- |
| **Определение** | Окружность, проходящая через все вершины многоугольника. |
| **Вписанная фигура** | Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. |
| **Расположение центра** | Точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника. |
| **Условие существования** | Для треугольника — всегда; для четырехугольника — сумма противоположных углов равна 180°. |

## Описанная окружность около треугольника

Вокруг любого треугольника можно описать ровно одну окружность. Центр этой окружности — замечательная точка треугольника, называемая центром описанной окружности или циркумцентром.

### Свойства описанной окружности для треугольника

Свойства связывают центр и радиус окружности со сторонами и углами треугольника, что служит основой для теорем и формул.

1.  **Построение центра**: Центр окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
2.  **Расположение центра**:
    *   Для остроугольного треугольника — внутри.
    *   Для прямоугольного треугольника — на середине гипотенузы.
    *   Для тупоугольного треугольника — вне фигуры.
3.  **Формула площади**: Площадь вписанного треугольника равна `S = (a * b * c) / (4R)`, где `a, b, c` — стороны, `R` — радиус описанной окружности.
4.  **Формула радиуса**: Радиус можно найти через стороны и площадь: `R = (a * b * c) / (4S)`.
5.  **Специальные случаи**:
    *   Для равностороннего треугольника: `R = a / √3`.
    *   Для прямоугольного треугольника: `R = c / 2`, где `c` — гипотенуза. Медиана к гипотенузе равна ее половине и совпадает с радиусом.
6.  **Теорема синусов**: Является ключевым следствием и выражает связь сторон, углов и радиуса: `a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R`.

## Описанная окружность около четырехугольника

Окружность можно описать не около каждого четырехугольника. Необходимым и достаточным условием является признак вписанного четырехугольника: **сумма его противоположных углов должна равняться 180°**.

### Свойства описанной окружности для четырехугольника

1.  **Основное свойство**: Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны 180°.
2.  **Частные случаи**: Окружность всегда можно описать около прямоугольника, квадрата и равнобедренной трапеции, так как для них выполняется основное условие.
3.  **Центр окружности**: Находится на пересечении серединных перпендикуляров к любым двум сторонам.
4.  **Теорема Птолемея**: Для вписанного четырехугольника произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон (`d1 * d2 = a*c + b*d`).
5.  **Подобие треугольников**: Диагонали разбивают вписанный четырехугольник на четыре треугольника, образующие две пары подобных фигур.
6.  **Квадрат**: Если вписанный четырехугольник — квадрат, то радиус описанной окружности равен половине его диагонали: `R = d / 2`.
7.  **Внешний угол**: Величина внешнего угла вписанного четырехугольника равна величине внутреннего угла, не смежного с ним.

## Описанная окружность около правильного многоугольника

Окружность можно описать около любого правильного n-угольника. Для произвольных многоугольников с числом сторон больше четырех это возможно лишь при специальных условиях, но в школьном курсе основное внимание уделяется правильным фигурам.

### Свойства описанной окружности для правильного n-угольника

1.  **Центр**: Центр описанной окружности совпадает с центром правильного многоугольника (точка, равноудаленная от всех вершин).
2.  **Радиус как биссектриса**: Радиус, проведенный в вершину, является биссектрисой внутреннего угла многоугольника.
3.  **Формула площади**: `S = (n * R² * sin(360°/n)) / 2`, где `n` — число сторон, `R` — радиус.
4.  **Формула радиуса через сторону**: `R = a / (2 * sin(180°/n))`, где `a` — сторона многоугольника.

**Практический совет**: Формулы для радиуса и площади выводятся из рассмотрения равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и стороной многоугольника. Центральный угол этого треугольника равен `360°/n`.

## Применение в архитектуре и искусстве

Правильные многоугольники, вписанные в окружность, исторически служили основой гармоничных пропорций.
*   **Архитектурный пример**: Римский Пантеон. Его купол и цилиндрическое основание можно представить как правильный многоугольник с большим числом сторон, вписанный в окружность, что создает ощущение космического порядка.
*   **Пример из искусства**: Рисунок Леонардо да Винчи «Витрувианский человек». Художник вписал фигуру человека в круг и квадрат, исследуя идеальные пропорции. Круг (описанная окружность) здесь символизирует божественное совершенство и точную геометрию, к которой стремились творцы.

## Решение задач по теме «Описанная окружность»

Лучший способ закрепить теорию — решать задачи. Начнем с простых упражнений и перейдем к более сложным.

### Задача 1
**Условие**: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см. Найдите радиус описанной окружности.

**Решение**:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Следовательно, радиус равен ее половине.
`R = c / 2 = 26 / 2 = 13 (см)`.

**Ответ**: 13 см.

### Задача 2
**Условие**: Один из углов вписанного в окружность четырехугольника равен 83°. Найдите величину противоположного ему угла.

**Решение**:
По основному свойству вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180°.
`Искомый угол = 180° — 83° = 97°`.

**Ответ**: 97°.

### Задача 3
**Условие**: Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Найдите радиус описанной окружности.

**Решение**:
1.  Найдем полупериметр: `p = (4 + 13 + 15) / 2 = 16 (см)`.
2.  Найдем площадь по формуле Герона:
    `S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(16*12*3*1) = √576 = 24 (см²)`.
3.  Используем формулу радиуса: `R = (a * b * c) / (4S) = (4 * 13 * 15) / (4 * 24) = 780 / 96 = 8,125 (см)`.

**Ответ**: 8,125 см.

### Задача 4
**Условие**: Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

**Решение**:
Для равностороннего треугольника связь радиуса и стороны: `R = a / √3`.
Выразим сторону: `a = R * √3 = 10√3 (см)`.

**Ответ**: `10√3` см.

### Задача 5
**Условие**: Около правильного шестиугольника описана окружность. Сторона шестиугольника равна 8 см. Найдите радиус этой окружности.

**Решение**:
Используем формулу радиуса для правильного n-угольника: `R = a / (2 * sin(180°/n))`.
Для шестиугольника (`n=6`): `sin(180°/6) = sin(30°) = 1/2`.
Подставляем: `R = 8 / (2 * (1/2)) = 8 / 1 = 8 (см)`.

**Ответ**: 8 см.

**Дополнительные материалы по геометрии для 7-9 классов**
Больше готовых конспектов, разборов теорем, алгоритмов решения задач и практических упражнений по геометрии и другим школьным предметам вы найдете в нашей базе материалов на сайте https://edu-life.tech.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?