Площадь прямоугольника: 7 формул и задачи с решением

Что такое площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника — это численная характеристика фигуры. Величина площади показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника. Единица измерения площади всегда указывается. Пример: прямоугольник, состоящий из 20 квадратов со стороной 1 см, имеет площадь 20 квадратных сантиметров (20 см²).

7 формул для расчета площади прямоугольника

Выбор формулы зависит от известных величин. Используйте ту, которая подходит под условия задачи.

1. Формула через длину и ширину

Это самый распространенный и простой способ. Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

• Формула: S = a × b
• Обозначения: S — площадь прямоугольника, a и b — длины смежных сторон.

2. Формула через сторону и диагональ

Применяется, когда известна одна сторона и диагональ фигуры.

• Формула: S = a × √(d² – a²)
• Обозначения: S — площадь, a — известная сторона, d — диагональ.
• Почему так: Формула вытекает из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного стороной, диагональю и второй стороной.

3. Формула через сторону и диаметр описанной окружности

Используется, если прямоугольник вписан в окружность, и известны его сторона и диаметр этой окружности.

• Формула: S = a × √(D² – a²)
• Обозначения: S — площадь, a — сторона, D — диаметр описанной окружности.

4. Формула через сторону и радиус описанной окружности

Альтернативный вариант предыдущей формулы, где вместо диаметра дан радиус.

• Формула: S = a × √(4R² – a²)
• Обозначения: S — площадь, a — сторона, R — радиус описанной окружности.

5. Формула через сторону и периметр

Позволяет найти площадь, если известен периметр фигуры и одна из ее сторон.

• Формула: S = (P × a – 2a²) / 2
• Обозначения: S — площадь, a — сторона, P — периметр.
• Совет: Сначала выразите неизвестную сторону из формулы периметра P = 2(a + b), а затем подставьте в основную формулу площади.

6. Формула через диагональ и угол между диагоналями

Подходит для случаев, когда известны диагонали прямоугольника и угол их пересечения.

• Формула: S = ½ × d² × sin α
• Обозначения: S — площадь, d — диагональ (диагонали равны), α — угол между диагоналями.

7. Формула через радиус описанной окружности и угол между диагоналями

Работает для прямоугольника, вписанного в окружность, если известен радиус и угол между его диагоналями.

• Формула: S = 2R² × sin α
• Обозначения: S — площадь, R — радиус описанной окружности, α — угол между диагоналями.

Задачи на нахождение площади с решением

Практические примеры помогают закрепить теорию. Разберем две типовые задачи.

Задача 1: По двум сторонам

Условие: Стороны прямоугольника равны 7 см и 11 см. Найдите площадь.

Дано:

• Сторона a = 7 см
• Сторона b = 11 см

Найти: Площадь S.

Решение:

1. Применяем базовую формулу: S = a × b.
2. Подставляем значения: S = 7 см × 11 см = 77 см².

Ответ: Площадь прямоугольника составляет 77 квадратных сантиметров.

Задача 2: По стороне и диагонали

Условие: Сторона прямоугольника равна 48 см, а диагональ — 50 см. Найдите площадь.

Дано:

• Сторона a = 48 см
• Диагональ d = 50 см

Найти: Площадь S.

Решение:

1. Используем формулу: S = a × √(d² – a²).
2. Вычисляем разность квадратов: d² – a² = 50² – 48² = 2500 – 2304 = 196.
3. Находим квадратный корень: √196 = 14.
4. Умножаем на известную сторону: S = 48 см × 14 = 672 см².

Ответ: Площадь прямоугольника равна 672 квадратным сантиметрам.

Дополнительные материалы по геометрии

Больше готовых разборов задач, конспектов по геометрии и алгебре, а также полезных материалов для учеников с 5 по 11 класс и их родителей вы найдете на нашем образовательном портале https://edu-life.tech.