Признаки делимости чисел: правила и примеры для 1-4 класса

Что такое признаки делимости чисел?

Признаки делимости чисел — это математические правила. Эти правила позволяют быстро определить, делится ли одно число на другое без остатка. Знание признаков делимости помогает в повседневных ситуациях. Например, можно быстро понять, можно ли поровну разделить конфеты из упаковки между всеми детьми в классе или членами семьи.

Основное определение делимости

Делимость числа — это свойство числа делиться на другое число нацело. Число 4 обладает делимостью на 2, потому что 4 : 2 = 2. Число 30 обладает делимостью на 2, 3, 5, 6 и 10. Другая формулировка: число 30 кратно числам 2, 3, 5, 6 и 10.

Сводная таблица признаков делимости

Для быстрого запоминания все основные признаки собраны в таблицу.

Делитель	Признак делимости	Пример
2	Число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 (четное).	1024 → оканчивается на 4, делится на 2.
3	Сумма цифр числа делится на 3.	123 → 1+2+3=6, 6 делится на 3, значит, 123 делится на 3.
4	Две последние цифры числа делятся на 4 или являются 00.	816 → последние цифры 16, 16:4=4, значит, 816 делится на 4.
5	Число оканчивается на 0 или 5.	455 → оканчивается на 5, делится на 5.
6	Число делится одновременно на 2 и на 3.	186 → четное (делится на 2) и 1+8+6=15 (делится на 3), значит, делится на 6.
7	Алгоритм: отбросить последнюю цифру, из полученного числа вычесть удвоенную отброшенную цифру. Результат должен делиться на 7.	2345 → 234 - (5*2)=224, 224:7=32, значит, 2345 делится на 7.
8	Три последние цифры числа делятся на 8 или являются 000.	5104 → последние цифры 104, 104:8=13, значит, 5104 делится на 8.
9	Сумма цифр числа делится на 9.	1854 → 1+8+5+4=18, 18 делится на 9, значит, 1854 делится на 9.
10	Число оканчивается на 0.	3450 → оканчивается на 0, делится на 10.
11	Сумма цифр на четных позициях равна сумме цифр на нечетных позициях.	3850 → (3+5)=8, (8+0)=8, суммы равны, значит, 3850 делится на 11.

Подробный разбор признаков с примерами

Признаки делимости на 2, 4, 8

• Признак делимости на 2: последняя цифра числа — 0, 2, 4, 6, 8.
• Признак делимости на 4: две последние цифры числа образуют число, кратное 4, или это 00.
• Признак делимости на 8: три последние цифры числа образуют число, кратное 8, или это 000.

Пример для числа 1024:

1. Последняя цифра 4 → делится на 2.
2. Последние две цифры 24 → 24:4=6 → делится на 4.
3. Последние три цифры 024 (это 24) → 24:8=3 → делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9

Правило одинаковое: нужно сложить все цифры числа.

• Если сумма цифр делится на 3, то и число делится на 3.
• Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9.

Почему это работает? Цифры в числе — это разряды. Сумма цифр показывает общий «вес» числа, который связан с делимостью на 3 и 9.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Примеры: 25, 110, 987625.

Признак делимости на 6

Число 6 — это 2 × 3. Поэтому число делится на 6, только если оно делится и на 2, и на 3 одновременно. Проверяем два условия:

1. Число четное (оканчивается на 0,2,4,6,8).
2. Сумма цифр числа делится на 3.

Пример для числа 7662:

• Последняя цифра 2 (четная).
• Сумма цифр: 7+6+6+2=21 (21 делится на 3). Вывод: 7662 делится на 6. Проверка: 7662 : 6 = 1277.

Признак делимости на 7 (алгоритм)

Этот признак сложнее, но его легко применять по шагам:

1. Отбросьте последнюю цифру числа.
2. От получившегося числа отнимите удвоенную отброшенную цифру.
3. Если результат делится на 7, то и исходное число делится на 7.

Пример для числа 2345:

1. Отбрасываем последнюю цифру 5, получаем 234.
2. Вычитаем: 234 — (5 × 2) = 234 — 10 = 224.
3. Проверяем 224: 224 : 7 = 32 (делится нацело). Значит, число 2345 делится на 7.

Признаки делимости на 10, 100, 1000

• На 10: число оканчивается одним нулём (0).
• На 100: число оканчивается двумя нулями (00).
• На 1000: число оканчивается тремя нулями (000). Пример: число 45600 делится на 10 и на 100, потому что оканчивается на 00.

Признак делимости на 11

Нужно сравнить две суммы:

1. Сумма цифр, стоящих на нечетных местах (считая справа налево или слева направо — важно быть последовательным).
2. Сумма цифр, стоящих на четных местах. Если эти суммы равны или их разность делится на 11, то число делится на 11.

Пример для числа 112046:

• Цифры на нечетных позициях (1,3,5): 1, 2, 4. Сумма = 7.
• Цифры на четных позициях (2,4,6): 1, 0, 6. Сумма = 7. Суммы равны (7=7), значит, 112046 делится на 11. Проверка: 112046 : 11 = 10186.

Практические задачи на признаки делимости

Задача 1: Проверка утверждений

Определите, верны ли следующие утверждения о делимости чисел. Используйте таблицу признаков.

1. Число 677 делится на 2. Ответ: Нет. Последняя цифра 7 — нечетная.
2. Число 123 делится на 3. Ответ: Да. Сумма цифр 1+2+3=6 делится на 3.
3. Число 816 делится на 4. Ответ: Да. Последние две цифры 16 делятся на 4.
4. Число 455 делится на 5. Ответ: Да. Оканчивается на 5.
5. Число 591 делится на 6. Ответ: Нет. Оно нечетное, значит, не делится на 2.
6. Число 356 делится на 7. Ответ: Нет. По алгоритму: 35 — (6*2)=23, 23 не делится на 7.
7. Число 5104 делится на 8. Ответ: Да. Последние три цифры 104 делятся на 8 (104:8=13).
8. Число 1854 делится на 9. Ответ: Да. Сумма цифр 1+8+5+4=18 делится на 9.
9. Число 3450 делится на 10. Ответ: Да. Оканчивается на 0.
10. Число 3850 делится на 11. Ответ: Да. Суммы цифр на четных и нечетных позициях равны 8.

Задача 2: Анализ большого числа

Определите, на какие числа от 2 до 11 делится число 39 916 800.

Решение:

• Делимость на 2, 4, 5, 10, 100: число оканчивается на 00, поэтому делится на все эти числа.
• Делимость на 3 и 9: сумма цифр 3+9+9+1+6+8+0+0 = 36. 36 делится на 3 и на 9.
• Делимость на 6: число делится на 2 и на 3 одновременно, значит, делится на 6.
• Делимость на 8: последние три цифры 800 делятся на 8.
• Делимость на 7: применяем алгоритм (проверка подтверждает делимость).
• Делимость на 11: суммы цифр на четных и нечетных позициях равны 18.

Вывод: число 39 916 800 делится на все числа от 2 до 11. Это не случайность. Данное число является факториалом числа 11 (записывается как 11!). Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа: 11! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 = 39 916 800.

Дополнительные материалы для 1-4 класса

Признаки делимости — важный инструмент для устного счета и решения задач. Чтобы легко запомнить правила, тренируйтесь на простых числах из учебника или придумывайте свои примеры. Больше готовых рабочих тетрадей, интерактивных заданий, конспектов и наглядных материалов по математике для учеников 1 класса и их родителей вы найдете на нашем сайте https://edu-life.tech.