Рациональные числа: определение, свойства, операции с примерами

Что такое рациональные числа в математике

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби a/b. В этой дроби числитель a является целым числом, а знаменатель b — натуральным числом (не равным нулю). Ключевое свойство рациональных чисел — их предсказуемость и возможность точной записи в дробной форме.

Основные виды чисел, входящих в множество рациональных

• Натуральные числа — числа для счёта: 1, 2, 3, 4 и так далее. Ноль не является натуральным числом.
• Целые числа — включают натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль: …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…
• Конечные десятичные дроби — дроби, у которых после запятой конечное число цифр.
• Бесконечные периодические десятичные дроби — дроби, у которых одна или несколько цифр после запятой повторяются бесконечно.

Как представить число в виде обыкновенной дроби: 4 способа

1. Целое число записывается как дробь со знаменателем 1.
   • Пример: (5 = \frac{5}{1}), (-3 = -\frac{3}{1}), (0 = \frac{0}{1}).
2. Конечная десятичная дробь переводится в обыкновенную.
   • Пример: (0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}), (-2,75 = -\frac{275}{100} = -\frac{11}{4}).
3. Смешанное число превращается в неправильную дробь.
   • Пример: (1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}), (-2\frac{3}{4} = -\frac{11}{4}).
4. Бесконечная периодическая дробь также является рациональным числом.
   • Пример: (0,33333… = \frac{1}{3}), (0,242424… = \frac{24}{99} = \frac{8}{33}).

Важное отличие: Бесконечные непериодические десятичные дроби (например, √2 ≈ 1,414213…, π ≈ 3,141592…) нельзя точно записать обыкновенной дробью. Такие числа называются иррациональными и не входят в множество рациональных чисел.

Сложение рациональных чисел: правила и примеры

Операция сложения — базовая для всех арифметических действий. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Сложение с нулём

Ноль — нейтральный элемент при сложении. Прибавление нуля не меняет число.

• Правило: Для любого рационального числа a: a + 0 = a.
• Пример: (\frac{3}{5} + 0 = \frac{3}{5}), (-2,75 + 0 = -2,75).

Случай 2: Сложение противоположных чисел

Противоположные числа имеют одинаковые модули, но разные знаки. Их сумма равна нулю.

• Правило: Для любого числа a: a + (-a) = 0.
• Пример: (\frac{2}{7} + (-\frac{2}{7}) = 0), (-5,1 + 5,1 = 0).

Случай 3: Сложение положительных чисел

Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

• Правило: Если a > 0 и b > 0, то a + b > 0.
• Пример: (0,4 + 0,2 = 0,6), (\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}).

Случай 4: Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно:

1. Найти модули слагаемых.
2. Из большего модуля вычесть меньший.
3. Поставить перед результатом знак того слагаемого, модуль которого больше.

• Пример 1: (-\frac{5}{6} + \frac{2}{3} = -(\frac{5}{6} - \frac{4}{6}) = -\frac{1}{6}) (модуль отрицательного числа больше).
• Пример 2: (-2,1 + 3,5 = +(3,5 - 2,1) = 1,4) (модуль положительного числа больше).

Случай 5: Сложение отрицательных чисел

Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Нужно сложить их модули и поставить знак минус.

• Правило: Если a < 0 и b < 0, то a + b = -(|a| + |b|).
• Пример: (-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{4} + \frac{2}{4}) = -\frac{3}{4}), (-0,8 + (-1,2) = -(0,8 + 1,2) = -2).

Вычитание рациональных чисел

Вычитание можно заменить сложением с числом, противоположным вычитаемому. Это универсальный приём.

• Правило: a - b = a + (-b).
• Пример 1: (-3,25 - 1,55 = -3,25 + (-1,55) = -4,8) (свелось к сложению отрицательных чисел).
• Пример 2: (\frac{3}{8} - \frac{5}{12} = \frac{3}{8} + (-\frac{5}{12}) = -\frac{1}{24}) (свелось к сложению чисел с разными знаками).

Умножение рациональных чисел: ключевые правила

Правило 1: Умножение на ноль

Произведение любого числа на ноль равно нулю.

• Пример: (\frac{3}{4} \times 0 = 0), (2,8 \times 0 = 0).

Правило 2: Умножение на единицу

Единица — нейтральный элемент при умножении. Число, умноженное на 1, не меняется.

• Пример: (\frac{2}{5} \times 1 = \frac{2}{5}), (3,6 \times 1 = 3,6).

Правило 3: Умножение взаимно обратных чисел

Числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1.

• Правило: (a \times \frac{1}{a} = 1) (где a ≠ 0).
• Пример: (5 \times \frac{1}{5} = 1), (\frac{3}{7} \times \frac{7}{3} = 1).

Правило 4: Умножение положительных чисел

Произведение двух положительных чисел положительно.

• Пример: (\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} = \frac{3}{14}), (0,3 \times 0,2 = 0,06).

Правило 5: Умножение чисел с разными знаками

Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно.

• Пример: (\frac{2}{3} \times (-\frac{1}{4}) = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}), (-0,4 \times 1,5 = -0,6).

Правило 6: Умножение отрицательных чисел

Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно («минус на минус даёт плюс»).

• Пример: (-\frac{1}{3} \times (-\frac{2}{5}) = \frac{2}{15}), (-0,8 \times (-1,25) = 1).

Деление рациональных чисел

Деление можно заменить умножением на число, обратное делителю.

• Правило: a : b = a × (1/b), где b ≠ 0.
• Пример 1: (\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}).
• Пример 2: (-0,6 : 0,2 = -0,6 \times 5 = -3).

Практические задачи по теме «Рациональные числа»

Закрепим изученные правила на практике.

Задача 1: Вычислите

1. (\frac{3}{8} + (-\frac{1}{4}))
2. (-2,75 - 1,25)

Решение и ответ:

1. Приводим дроби к общему знаменателю и складываем: (\frac{3}{8} + (-\frac{2}{8}) = \frac{1}{8}).
2. Заменяем вычитание сложением: (-2,75 + (-1,25) = -4).

• Ответ: 1) (\frac{1}{8}); 2) (-4).

Задача 2: Найдите произведение

1. (-\frac{2}{5} \times \frac{10}{3})
2. (-0,6 \times (-0,4))

Решение и ответ:

1. Умножаем числа с разными знаками: (-\frac{2}{5} \times \frac{10}{3} = -\frac{20}{15} = -\frac{4}{3}).
2. Умножаем отрицательные числа: (-0,6 \times (-0,4) = 0,24).

• Ответ: 1) (-\frac{4}{3}); 2) (0,24).

Задача 3: Выполните деление

1. (\frac{9}{14} : (-\frac{3}{7}))
2. (-1,2 : 0,4)

Решение и ответ:

1. Заменяем деление умножением на обратное число: (\frac{9}{14} \times (-\frac{7}{3}) = -\frac{3}{2}).
2. (-1,2 : 0,4 = -1,2 \times 2,5 = -3).

• Ответ: 1) (-\frac{3}{2}); 2) (-3).

Задача 4: Найдите значение выражения

1. ((\frac{2}{3} + \frac{1}{6}) \times 0 + 5)
2. (-\frac{3}{8} \times (-\frac{4}{9}) \times 1 - 0)

Решение и ответ:

1. Любое выражение, умноженное на ноль, даёт ноль. Поэтому: (0 + 5 = 5).
2. Умножаем дроби: (-\frac{3}{8} \times (-\frac{4}{9}) = \frac{1}{6}). Умножение на 1 и вычитание 0 не меняют результат.

• Ответ: 1) (5); 2) (\frac{1}{6}).

Дополнительные материалы для изучения математики Больше готовых конспектов, разборов сложных тем, задач с решениями и тренажёров для учеников 6-7 классов и их родителей вы найдёте на нашем образовательном сайте https://edu-life.tech.