---
title: "Разложение на простые множители: способы, примеры, задачи"
description: "Как разложить число на простые множители. 3 способа разложения, примеры и задачи с решениями для 5-6 класса. Таблица простых чисел."
canonical: https://edu-life.tech/articles/razlozhenie-chisla-na-prostye-mnozhiteli-sposoby-primery
tags: ["shkola", "roditelyam", "matematika", "obuchenie", "5-klass", "6-klass", "algebra"]
---

# Разложение на простые множители: способы, примеры, задачи

## Простые числа и их роль в математике

Простые числа — это натуральные числа, которые больше единицы и имеют ровно два делителя: единицу и само это число. Физик Лев Ландау отмечал их уникальность, подчеркивая, что они словно созданы для умножения. Именно умножение простых чисел и процесс разложения составных чисел на простые множители составляют основу данной статьи.

## Что такое разложение числа на простые множители?

Разложение числа на простые множители — это представление натурального числа в виде произведения простых чисел. Данная операция применяется только к составным числам, которые имеют более двух делителей. Например, число 28 является составным.

### Ключевые определения:
- **Делитель** — число, на которое заданное число делится без остатка. Делителями числа 28 являются: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
- **Разложение на множители** — запись числа в виде произведения его делителей. Конкретный вид разложения зависит от условия задачи.

## Три основных способа разложения числа на множители

В зависимости от цели, составное число можно разложить на множители тремя разными способами.

### 1. Разложение на два множителя
Любое целое число можно представить в виде произведения двух множителей. Количество вариантов разложения для каждого числа различно.

**Пример для числа 28:**
- 28 = 1 × 28
- 28 = 2 × 14
- 28 = 4 × 7
- 28 = (–7) × (–4)

### 2. Разложение на взаимно простые множители
Взаимно простыми называются числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен единице: НОД (a, b) = 1.

**Примеры:**
- 28 = 4 × 7 (НОД(4,7)=1)
- 30 = 2 × 15 (НОД(2,15)=1)

### 3. Разложение на простые множители
В этом случае все множители в произведении должны быть простыми числами. Это каноническая форма разложения.

**Пример для числа 28:**
28 = 2 × 2 × 7 = 2² × 7

Для выполнения такого разложения используют два основных метода:
1.  **Метод вертикального деления («лесенка»).**
2.  **Метод «дерева» разложения.**

**Постепенное разложение (на примере числа 153):**
153 = 3 × 51 = 3 × 3 × 17 = 3² × 17

## Таблица простых чисел до 50

Для удобства работы с разложением полезно знать первые простые числа.

| Простые числа |
|---------------|
| 2             |
| 3             |
| 5             |
| 7             |
| 11            |
| 13            |
| 17            |
| 19            |
| 23            |
| 29            |
| 31            |
| 37            |
| 41            |
| 43            |
| 47            |

## Практические задачи на разложение

Закрепим теорию на практике, решив несколько задач.

### Задача 1: Взаимно простые числа
**Условие:** Составьте все возможные пары взаимно простых чисел из набора: 14, 18, 33, 45.

**Решение:**
1.  Разложим каждое число на простые множители:
    - 14 = 2 × 7
    - 18 = 2 × 3²
    - 33 = 3 × 11
    - 45 = 3² × 5
2.  Пары взаимно простых чисел не должны иметь общих простых делителей.

**Ответ:** Пары (14, 33), (14, 45), (18, 33) — здесь есть ошибка, так как 18 и 33 делятся на 3. Верные пары: (14, 33), (14, 45), (33, 14), (45, 14). У 33 и 45 общий делитель 3, поэтому они не взаимно просты.

### Задача 2: Сокращение дроби
**Условие:** Сократите дробь 126/198.

**Решение (способ 1 — последовательное деление):**
126/198 = (126÷2)/(198÷2) = 63/99 = (63÷9)/(99÷9) = 7/11

**Решение (способ 2 — разложение на простые множители):**
1.  126 = 2 × 3² × 7
2.  198 = 2 × 3² × 11
3.  Сокращаем общие множители 2 и 3².

**Ответ:** 7/11.

### Задача 3: Прикладная задача на НОД
**Условие:** Какое наибольшее число одинаковых пакетов нужно, чтобы разложить в них 78 тетрадей в линейку и 117 тетрадей в клетку поровну?

**Решение:**
Количество пакетов равно наибольшему общему делителю (НОД) чисел 78 и 117.
1.  Разложим числа на простые множители:
    - 78 = 2 × 3 × 13
    - 117 = 3² × 13
2.  НОД (78, 117) = 3 × 13 = 39.

**Ответ:** Необходимо 39 пакетов. В каждом пакете будет по 2 тетради в линейку (78÷39=2) и 3 тетради в клетку (117÷39=3).

## Почему важно уметь раскладывать числа на множители?

Этот навык является фундаментальным для многих разделов математики:
- **Сокращение дробей** (как в задаче 2).
- **Нахождение НОД и НОК** (как в задаче 3).
- **Решение уравнений** и упрощение алгебраических выражений.
- **Основы криптографии**, где простые числа играют ключевую роль.

Больше практических заданий, разборов сложных примеров и интерактивных материалов по математике для 5-6 классов вы найдете в нашей подборке учебных материалов на сайте https://edu-life.tech.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?