---
title: "Синус, косинус, тангенс, котангенс: определения и свойства"
description: "Объяснение тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Определения через треугольник и окружность, свойства, таблицы значений."
canonical: https://edu-life.tech/articles/sinus-kosinus-tangens-kotangens-opredeleniya-svojstva
tags: ["shkola", "matematika", "10-klass", "11-klass", "geometriya", "trigonometriya", "sinus"]
---

# Синус, косинус, тангенс, котангенс: определения и свойства

## Что такое тригонометрические функции

Тригонометрические функции — это математический инструмент, связывающий углы с соотношениями сторон в треугольниках. Эти функции находят применение в физике, инженерии, астрономии и компьютерной графике. Основа тригонометрии — четыре ключевые функции: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Графики тригонометрических функций описывают волны, колебания и периодические процессы. Знание их свойств необходимо для решения задач в науке и технике.

## Определение синуса угла

Синус угла — это тригонометрическая функция, определяемая в прямоугольном треугольнике.

- **Определение через треугольник**: Синус острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
  Формула: `sin A = противолежащий катет / гипотенуза`.
- **Определение через единичную окружность**: На окружности радиуса 1 с центром в начале координат синус угла α равен ординате (y-координате) точки пересечения луча, образующего угол, с окружностью.
  Правило: `sin α = y`.

Это равенство следует из построения прямоугольного треугольника, где гипотенуза равна радиусу (1), а противолежащий катет — координате y.

## Определение косинуса угла

Косинус угла — это вторая базовая тригонометрическая функция.

- **Определение через треугольник**: Косинус острого угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
  Формула: `cos A = прилежащий катет / гипотенуза`.
- **Определение через единичную окружность**: На единичной окружности косинус угла α равен абсциссе (x-координате) точки пересечения.
  Правило: `cos α = x`.

Объяснение аналогично синусу: в построенном треугольнике прилежащий катет соответствует координате x, а гипотенуза равна 1.

## Определение тангенса угла

Тангенс угла определяется через отношение сторон или координаты.

- **Определение через треугольник**: Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
  Формула: `tg A = противолежащий катет / прилежащий катет`.
- **Определение через единичную окружность**: Тангенс угла α равен отношению ординаты к абсциссе точки на окружности.
  Формула: `tg α = y / x`.

Тангенс также можно найти как точку пересечения луча с вертикальной осью тангенсов, проведенной через точку (1, 0).

## Определение котангенса угла

Котангенс угла является функцией, обратной тангенсу.

- **Определение через треугольник**: Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
  Формула: `ctg A = прилежащий катет / противолежащий катет`.
- **Определение через единичную окружность**: Котангенс угла α равен отношению абсциссы к ординате.
  Формула: `ctg α = x / y`.

Между тангенсом и котангенсом существует прямая связь: `ctg α = 1 / tg α`. Котангенс соответствует точке пересечения луча с горизонтальной осью котангенсов.

## Таблица основных значений тригонометрических функций

Для стандартных углов значения функций следует запомнить или использовать таблицу.

| Угол (градусы) | Угол (радианы) | sin α | cos α | tg α | ctg α |
|----------------|----------------|-------|-------|------|-------|
| 0°             | 0              | 0     | 1     | 0    | не опр. |
| 30°            | π/6            | 1/2   | √3/2  | √3/3 | √3    |
| 45°            | π/4            | √2/2  | √2/2  | 1    | 1     |
| 60°            | π/3            | √3/2  | 1/2   | √3   | √3/3  |
| 90°            | π/2            | 1     | 0     | не опр. | 0    |

**Практический совет**: Для перевода градусов в радианы используйте формулу: `радианы = (градусы × π) / 180°`. Обратный перевод: `градусы = (радианы × 180°) / π`. Радианная мера упрощает многие математические выкладки.

## Свойства тригонометрических функций

Каждая функция обладает уникальным набором характеристик.

### Область определения и значений

1.  **Синус и косинус**:
    - Область определения: все действительные числа.
    - Область значений: отрезок от -1 до 1.
2.  **Тангенс**:
    - Область определения: все числа, кроме `α = π/2 + πk`, где k — целое.
    - Область значений: все действительные числа.
3.  **Котангенс**:
    - Область определения: все числа, кроме `α = πk`, где k — целое.
    - Область значений: все действительные числа.

### Периодичность

- Функции `sin α` и `cos α` являются периодическими с периодом `2π` или `360°`.
- Функции `tg α` и `ctg α` являются периодическими с периодом `π` или `180°`.

Это свойство означает, что значения функций повторяются через указанный интервал.

### Четность

- **Косинус** — четная функция: `cos(-α) = cos α`.
- **Синус, тангенс, котангенс** — нечетные функции:
    - `sin(-α) = -sin α`,
    - `tg(-α) = -tg α`,
    - `ctg(-α) = -ctg α`.

### Основные тригонометрические тождества

Эти формулы связывают функции между собой.

1.  Основное тождество: `sin²α + cos²α = 1`.
2.  Связь тангенса и котангенса: `tg α × ctg α = 1` (где функции определены).
3.  Тождества через синус и косинус:
    - `tg α = sin α / cos α`,
    - `ctg α = cos α / sin α`.

Используйте эти тождества для преобразования выражений и решения уравнений.

## Решение практических задач

Разберем несколько типовых задач для закрепления материала.

### Задача 1: Нахождение функций по сторонам треугольника

**Условие**: В прямоугольном треугольнике катет a = 3, гипотенуза c = 5. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла A, противолежащего катету a.

**Решение**:
1.  Найдем второй катет b по теореме Пифагора: `b = √(c² - a²) = √(25 - 9) = √16 = 4`.
2.  Вычислим функции угла A:
    - `sin A = a / c = 3/5 = 0.6`,
    - `cos A = b / c = 4/5 = 0.8`,
    - `tg A = a / b = 3/4 = 0.75`.

**Ответ**: 0.6; 0.8; 0.75.

### Задача 2: Вычисление выражения с известными значениями

**Условие**: Найдите значение выражения: `2 sin 30° + 3 cos 60° - tg 45°`.

**Решение**:
Подставляем табличные значения:
- `sin 30° = 1/2`,
- `cos 60° = 1/2`,
- `tg 45° = 1`.

Вычисляем: `2 × (1/2) + 3 × (1/2) - 1 = 1 + 1.5 - 1 = 1.5`.

**Ответ**: 1.5.

### Задача 3: Нахождение тангенса через синус

**Условие**: Найдите `tg α`, если `sin α = 5/13` и угол α лежит во второй четверти `(π/2; π)`.

**Решение**:
1.  Используем основное тождество: `cos²α = 1 - sin²α = 1 - (25/169) = 144/169`.
2.  Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому `cos α = -12/13`.
3.  Находим тангенс: `tg α = sin α / cos α = (5/13) / (-12/13) = -5/12`.

**Ответ**: `-5/12`.

### Задача 4: Упрощение тригонометрического выражения

**Условие**: Упростите выражение: `(sin²α - 1) / (1 - cos²α) + ctg α × sin α`.

**Решение**:
1.  Заменим `1 - cos²α` на `sin²α` по основному тождеству.
2.  Преобразуем первое слагаемое: `(sin²α - 1) / sin²α = - (1 - sin²α) / sin²α = - cos²α / sin²α = -ctg²α`.
3.  Второе слагаемое: `ctg α × sin α = (cos α / sin α) × sin α = cos α`.
4.  Итог: `-ctg²α + cos α` или `cos α - ctg²α`.

**Ответ**: `cos α - ctg²α`.

## Дополнительные материалы по тригонометрии

Для глубокого понимания темы важно практиковаться. Больше готовых разборов задач, интерактивных упражнений и наглядных материалов по тригонометрии и другим разделам школьной математики вы найдете в нашей базе знаний на сайте https://edu-life.tech. Там собраны конспекты, генераторы задач и видеообъяснения, которые помогут уверенно подготовиться к контрольным и экзаменам.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?