Теорема косинусов: формула, доказательство, задачи с решениями

Теорема косинусов: от абстракции к практике

Геометрия — это не просто набор правил из учебника. Каждая теорема решает реальные задачи. Например, инженеру нужно рассчитать длину кабеля между двумя вышками. Известны расстояния до третьей вышки и углы. Получается треугольник с одной неизвестной стороной. Теорема косинусов дает точный ответ.

Эта теорема обобщает теорему Пифагора для любых треугольников. Она позволяет находить стороны и углы, зная другие элементы фигуры. Разберем формулировку, доказательство и практическое применение.

Формулировка теоремы косинусов

Теорема косинусов — ключевое утверждение геометрии. Она работает для всех типов треугольников: остроугольных, прямоугольных и тупоугольных.

Формулировка теоремы: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Практический смысл: Теорема косинусов находит неизвестную сторону по двум известным сторонам и углу между ними.

Формула теоремы косинусов

Для треугольника ABC применяется стандартная нотация:

• Стороны: a = BC, b = AC, c = AB.
• Углы: ∠A, ∠B, ∠C лежат против соответствующих сторон.

Основная формула: a² = b² + c² - 2bc * cos(∠A)

Аналогично записываются формулы для других сторон:

• b² = a² + c² - 2ac * cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2ab * cos(∠C)

Важный частный случай: Если угол ∠A = 90°, то cos(90°) = 0. Формула превращается в a² = b² + c². Это теорема Пифагора. Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов для прямоугольных треугольников.

Шпаргалка по применению теоремы косинусов

Сохраните эту таблицу для быстрого доступа к ключевой информации.

Что нужно найти?	Что известно?	Формула
Сторону треугольника	Две стороны и угол между ними	a² = b² + c² - 2bc * cos(∠A)
Угол треугольника	Все три стороны	cos(∠A) = (b² + c² - a²) / (2bc)
Проверить тип угла	Все три стороны	Если cos(∠A) > 0 — угол острый. Если cos(∠A) < 0 — угол тупой.

Доказательство теоремы косинусов

Докажем формулу a² = b² + c² - 2bc * cos(∠A) для треугольника ABC.

Способ 1: Геометрический (с помощью высоты)

1. Проведите высоту BH из вершины B на сторону AC.
2. Получатся два прямоугольных треугольника: ABH и CBH.
3. В треугольнике ABH:
   • Катет AH = c * cos(∠A).
   • Катет BH = c * sin(∠A).
4. Сторона AC = b = AH + HC. Отсюда HC = b - c * cos(∠A).
5. В треугольнике CBH по теореме Пифагора: BC² = BH² + HC².
6. Подставляем выражения: a² = (c * sin∠A)² + (b - c * cos∠A)² a² = c² * sin²∠A + b² - 2bc * cos∠A + c² * cos²∠A a² = b² + c²(sin²∠A + cos²∠A) - 2bc * cos∠A
7. Используем основное тригонометрическое тождество: sin²∠A + cos²∠A = 1.
8. Получаем итог: a² = b² + c² - 2bc * cos∠A. Доказательство завершено.

Способ 2: Координатный

1. Поместите треугольник ABC в систему координат.
2. Вершина A — в начале координат (0, 0).
3. Вершина C — на положительной оси OX, AC = b. Координаты C(b, 0).
4. Вершина B имеет координаты (c * cos∠A, c * sin∠A), так как AB = c.
5. Сторона a = BC — расстояние между точками B и C.
6. По формуле расстояния: a² = (b - c * cos∠A)² + (0 - c * sin∠A)².
7. Раскройте скобки и упростите: a² = b² - 2bc * cos∠A + c² * cos²∠A + c² * sin²∠A a² = b² - 2bc * cos∠A + c² * (cos²∠A + sin²∠A)
8. Снова примените тождество sin²∠A + cos²∠A = 1.
9. Итог: a² = b² + c² - 2bc * cos∠A. Координатный метод подтверждает теорему.

Практическое применение: решение задач

Теорема косинусов решает две основные типа задач.

1. Как найти сторону треугольника

Условие: Известны две стороны и угол между ними. Алгоритм:

1. Выберите формулу для искомой стороны.
2. Подставьте известные значения.
3. Вычислите квадрат стороны.
4. Извлеките корень.

Пример задачи: Стороны b = 7 см, c = 8 см, угол ∠A = 60°. Найдите сторону a. Решение: a² = 7² + 8² - 2 * 7 * 8 * cos60° = 49 + 64 - 112 * 0.5 = 57 a = √57 см

2. Как найти угол треугольника

Условие: Известны все три стороны. Алгоритм:

1. Выразите косинус нужного угла из формулы.
2. Подставьте значения сторон.
3. Вычислите число.
4. По таблице или калькулятору найдите сам угол.

Пример задачи: Стороны a = 7 см, b = 3 см, c = 5 см. Найдите угол ∠A. Решение: cos∠A = (3² + 5² - 7²) / (2 * 3 * 5) = (9 + 25 - 49) / 30 = (-15) / 30 = -0.5 ∠A = arccos(-0.5) = 120° (угол тупой).

Тренировочные задачи с решениями

Попробуйте решить задачи самостоятельно, затем сверьтесь с ответами.

Задача 1

Условие: В треугольнике ABC: AB = 5 см, AC = 8 см, ∠A = 60°. Найдите BC. Решение:

1. Запишем формулу: BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos∠A.
2. Подставим значения: BC² = 25 + 64 - 2*5*8*0.5 = 89 - 40 = 49.
3. BC = √49 = 7 см. Ответ: 7 см.

Задача 2

Условие: В треугольнике ABC: AB = 3 см, AC = 8 см, BC = 7 см. Найдите ∠A. Решение:

1. Выразим косинус: cos∠A = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC).
2. Подставим значения: cos∠A = (9 + 64 - 49) / 48 = 24 / 48 = 0.5.
3. ∠A = arccos(0.5) = 60°. Ответ: 60°.

Задача 3

Условие: В треугольнике ABC: AB = 4 см, BC = 6 см, ∠B = 120°. Найдите AC. Решение:

1. Запишем формулу для стороны AC, противолежащей углу B: AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos∠B.
2. Важно: cos120° = -0.5.
3. Подставим: AC² = 16 + 36 - 2*4*6*(-0.5) = 52 + 24 = 76.
4. AC = √76 = 2√19 см. Ответ: 2√19 см.

Задача 4

Условие: Стороны треугольника: a=4 см, b=5 см, c=6 см. Найдите косинус наибольшего угла. Решение:

1. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны c=6 см. Это угол ∠C.
2. Формула: cos∠C = (a² + b² - c²) / (2ab).
3. Подставим: cos∠C = (16 + 25 - 36) / (2*4*5) = 5 / 40 = 0.125. Ответ: 0.125.

---

Дополнительные материалы по геометрии

Больше готовых разборов теорем, алгоритмов решения задач и обучающих материалов для учеников 7, 8 и 9 классов вы найдете на нашем образовательном портале https://edu-life.tech. У нас есть специальные подборки для подготовки к ОГЭ и систематизации школьных знаний.