---
title: "Теорема косинусов: формула, доказательство, задачи с решениями"
description: "Объяснение теоремы косинусов для 7-9 классов: формула, два способа доказательства, примеры решения задач на нахождение сторон и углов треугольника."
canonical: https://edu-life.tech/articles/teorema-kosinusov-formula-dokazatelstvo-zadachi
tags: ["shkola", "matematika", "7-klass", "8-klass", "9-klass", "geometriya", "trigonometriya"]
---

# Теорема косинусов: формула, доказательство, задачи с решениями

## Теорема косинусов: от абстракции к практике

Геометрия — это не просто набор правил из учебника. Каждая теорема решает реальные задачи. Например, инженеру нужно рассчитать длину кабеля между двумя вышками. Известны расстояния до третьей вышки и углы. Получается треугольник с одной неизвестной стороной. Теорема косинусов дает точный ответ.

Эта теорема обобщает теорему Пифагора для любых треугольников. Она позволяет находить стороны и углы, зная другие элементы фигуры. Разберем формулировку, доказательство и практическое применение.

## Формулировка теоремы косинусов

Теорема косинусов — ключевое утверждение геометрии. Она работает для всех типов треугольников: остроугольных, прямоугольных и тупоугольных.

**Формулировка теоремы:**
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

**Практический смысл:**
Теорема косинусов находит неизвестную сторону по двум известным сторонам и углу между ними.

## Формула теоремы косинусов

Для треугольника ABC применяется стандартная нотация:
- Стороны: a = BC, b = AC, c = AB.
- Углы: ∠A, ∠B, ∠C лежат против соответствующих сторон.

**Основная формула:**
`a² = b² + c² - 2bc * cos(∠A)`

Аналогично записываются формулы для других сторон:
- `b² = a² + c² - 2ac * cos(∠B)`
- `c² = a² + b² - 2ab * cos(∠C)`

**Важный частный случай:**
Если угол ∠A = 90°, то cos(90°) = 0. Формула превращается в `a² = b² + c²`. Это теорема Пифагора. Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов для прямоугольных треугольников.

## Шпаргалка по применению теоремы косинусов

Сохраните эту таблицу для быстрого доступа к ключевой информации.

| **Что нужно найти?** | **Что известно?** | **Формула** |
|----------------------|-------------------|-------------|
| Сторону треугольника | Две стороны и угол между ними | `a² = b² + c² - 2bc * cos(∠A)` |
| Угол треугольника | Все три стороны | `cos(∠A) = (b² + c² - a²) / (2bc)` |
| Проверить тип угла | Все три стороны | Если `cos(∠A) > 0` — угол острый. Если `cos(∠A) < 0` — угол тупой. |

## Доказательство теоремы косинусов

Докажем формулу `a² = b² + c² - 2bc * cos(∠A)` для треугольника ABC.

### Способ 1: Геометрический (с помощью высоты)

1.  Проведите высоту BH из вершины B на сторону AC.
2.  Получатся два прямоугольных треугольника: ABH и CBH.
3.  В треугольнике ABH:
    - Катет AH = c * cos(∠A).
    - Катет BH = c * sin(∠A).
4.  Сторона AC = b = AH + HC. Отсюда HC = b - c * cos(∠A).
5.  В треугольнике CBH по теореме Пифагора: BC² = BH² + HC².
6.  Подставляем выражения:
    `a² = (c * sin∠A)² + (b - c * cos∠A)²`
    `a² = c² * sin²∠A + b² - 2bc * cos∠A + c² * cos²∠A`
    `a² = b² + c²(sin²∠A + cos²∠A) - 2bc * cos∠A`
7.  Используем основное тригонометрическое тождество: sin²∠A + cos²∠A = 1.
8.  Получаем итог: `a² = b² + c² - 2bc * cos∠A`. Доказательство завершено.

### Способ 2: Координатный

1.  Поместите треугольник ABC в систему координат.
2.  Вершина A — в начале координат (0, 0).
3.  Вершина C — на положительной оси OX, AC = b. Координаты C(b, 0).
4.  Вершина B имеет координаты (c * cos∠A, c * sin∠A), так как AB = c.
5.  Сторона a = BC — расстояние между точками B и C.
6.  По формуле расстояния: `a² = (b - c * cos∠A)² + (0 - c * sin∠A)²`.
7.  Раскройте скобки и упростите:
    `a² = b² - 2bc * cos∠A + c² * cos²∠A + c² * sin²∠A`
    `a² = b² - 2bc * cos∠A + c² * (cos²∠A + sin²∠A)`
8.  Снова примените тождество sin²∠A + cos²∠A = 1.
9.  Итог: `a² = b² + c² - 2bc * cos∠A`. Координатный метод подтверждает теорему.

## Практическое применение: решение задач

Теорема косинусов решает две основные типа задач.

### 1. Как найти сторону треугольника

**Условие:** Известны две стороны и угол между ними.
**Алгоритм:**
1.  Выберите формулу для искомой стороны.
2.  Подставьте известные значения.
3.  Вычислите квадрат стороны.
4.  Извлеките корень.

**Пример задачи:**
Стороны b = 7 см, c = 8 см, угол ∠A = 60°. Найдите сторону a.
**Решение:**
`a² = 7² + 8² - 2 * 7 * 8 * cos60° = 49 + 64 - 112 * 0.5 = 57`
`a = √57 см`

### 2. Как найти угол треугольника

**Условие:** Известны все три стороны.
**Алгоритм:**
1.  Выразите косинус нужного угла из формулы.
2.  Подставьте значения сторон.
3.  Вычислите число.
4.  По таблице или калькулятору найдите сам угол.

**Пример задачи:**
Стороны a = 7 см, b = 3 см, c = 5 см. Найдите угол ∠A.
**Решение:**
`cos∠A = (3² + 5² - 7²) / (2 * 3 * 5) = (9 + 25 - 49) / 30 = (-15) / 30 = -0.5`
`∠A = arccos(-0.5) = 120°` (угол тупой).

## Тренировочные задачи с решениями

Попробуйте решить задачи самостоятельно, затем сверьтесь с ответами.

### Задача 1
**Условие:** В треугольнике ABC: AB = 5 см, AC = 8 см, ∠A = 60°. Найдите BC.
**Решение:**
1.  Запишем формулу: `BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos∠A`.
2.  Подставим значения: `BC² = 25 + 64 - 2*5*8*0.5 = 89 - 40 = 49`.
3.  `BC = √49 = 7 см`.
**Ответ:** 7 см.

### Задача 2
**Условие:** В треугольнике ABC: AB = 3 см, AC = 8 см, BC = 7 см. Найдите ∠A.
**Решение:**
1.  Выразим косинус: `cos∠A = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC)`.
2.  Подставим значения: `cos∠A = (9 + 64 - 49) / 48 = 24 / 48 = 0.5`.
3.  `∠A = arccos(0.5) = 60°`.
**Ответ:** 60°.

### Задача 3
**Условие:** В треугольнике ABC: AB = 4 см, BC = 6 см, ∠B = 120°. Найдите AC.
**Решение:**
1.  Запишем формулу для стороны AC, противолежащей углу B: `AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos∠B`.
2.  Важно: `cos120° = -0.5`.
3.  Подставим: `AC² = 16 + 36 - 2*4*6*(-0.5) = 52 + 24 = 76`.
4.  `AC = √76 = 2√19 см`.
**Ответ:** 2√19 см.

### Задача 4
**Условие:** Стороны треугольника: a=4 см, b=5 см, c=6 см. Найдите косинус наибольшего угла.
**Решение:**
1.  Наибольший угол лежит против наибольшей стороны c=6 см. Это угол ∠C.
2.  Формула: `cos∠C = (a² + b² - c²) / (2ab)`.
3.  Подставим: `cos∠C = (16 + 25 - 36) / (2*4*5) = 5 / 40 = 0.125`.
**Ответ:** 0.125.

---

**Дополнительные материалы по геометрии**

Больше готовых разборов теорем, алгоритмов решения задач и обучающих материалов для учеников 7, 8 и 9 классов вы найдете на нашем образовательном портале [https://edu-life.tech](https://edu-life.tech). У нас есть специальные подборки для подготовки к ОГЭ и систематизации школьных знаний.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?