Теорема о трех перпендикулярах: доказательство и задачи ЕГЭ

Теорема о трех перпендикулярах: формулировка и значение

Теорема о трех перпендикулярах — это ключевая теорема в разделе стереометрии. Её суть заключается в следующем: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то эта прямая также перпендикулярна и самой наклонной. Данная теорема часто встречается в задании №13 профильного ЕГЭ по математике, за верное решение которого можно получить 3 балла.

Доказательство теоремы о трех перпендикулярах

Рассмотрим доказательство теоремы шаг за шагом.

Дано:

• Плоскость α.
• Перпендикуляр AB к плоскости α.
• Наклонная AC к плоскости α.
• Проекция BC наклонной AC на плоскость α.
• Прямая c, лежащая в плоскости α и проходящая через точку C (основание наклонной).
• Условие: прямая c перпендикулярна проекции BC.

Требуется доказать: прямая c перпендикулярна наклонной AC.

Доказательство:

1. Проведем прямую KC, параллельную прямой AB.
   • По построению: KC || AB.
   • По условию: AB ⊥ α.
   • Следствие: KC ⊥ α (если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой).
2. Поскольку KC ⊥ α, то прямая KC перпендикулярна любой прямой в плоскости α, в том числе и прямой c.
3. Прямые AB и KC параллельны, следовательно, они определяют единственную плоскость β.
4. В плоскости β лежат прямые BC, KC и AC.
5. По условию: c ⊥ BC.
   • По доказанному: c ⊥ KC.
   • Вывод: прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым (BC и KC) плоскости β.
6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой этой плоскости, включая наклонную AC.

Таким образом, c ⊥ AC. Теорема доказана.

Важное замечание: Во многих учебниках указано, что прямая в плоскости должна проходить через основание наклонной. Это условие не является обязательным для справедливости теоремы. Главное — перпендикулярность прямой проекции наклонной.

Решение задач с применением теоремы

Задача 1: Угол в пирамиде

Условие: Дана пирамида MABC с высотой MA. В основании лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Найдите угол между ребрами MC и BC.

Решение:

1. MA — высота пирамиды, следовательно, MA ⊥ плоскости (ABC).
2. AC является проекцией наклонной MC на плоскость основания ABC.
3. По условию, в треугольнике ABC угол C прямой, значит, AC ⊥ BC.
4. Прямая BC лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции AC.
5. По теореме о трех перпендикулярах: BC ⊥ MC.

Ответ: Угол между ребрами MC и BC равен 90°.

Задача 2: Перпендикулярность в параллелепипеде

Условие: Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Известно, что AD = 5, DD₁ = 5. Докажите, что прямые AD₁ и A₁C перпендикулярны.

Решение:

1. Рассмотрим грань ADD₁A₁. Поскольку AD = DD₁ = 5, эта грань является квадратом.
2. В квадрате ADD₁A₁ диагонали перпендикулярны: AD₁ ⊥ A₁D.
3. Отрезок A₁D является проекцией наклонной A₁C на плоскость грани ADD₁A₁.
4. Прямая AD₁ лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции A₁D.
5. Применяем теорему о трех перпендикулярах: если AD₁ ⊥ A₁D (проекции), то AD₁ ⊥ A₁C (наклонной).

Перпендикулярность прямых AD₁ и A₁C доказана.

Как успешно применять теорему на экзамене

• Шаг 1: Идентифицируйте элементы. Четко найдите в условии задачи плоскость, наклонную, её проекцию и прямую в плоскости.
• Шаг 2: Проверьте условие. Убедитесь, что прямая в плоскости перпендикулярна именно проекции наклонной.
• Шаг 3: Сделайте вывод. Смело применяйте теорему для доказательства перпендикулярности прямой и наклонной.

Понимание и умение применять эту теорему значительно упрощает решение сложных стереометрических задач на ЕГЭ.

Дополнительные материалы для подготовки к ЕГЭ Больше теоретических разборов, готовых решений сложных задач и полезных конспектов по стереометрии и другим разделам математики вы найдете в нашей базе материалов на сайте https://edu-life.tech. Мы поможем систематизировать знания и уверенно подойти к экзамену.