---
title: "Теорема о трех перпендикулярах: доказательство и задачи ЕГЭ"
description: "Подробный разбор теоремы о трех перпендикулярах в стереометрии: формулировка, доказательство и решение задач для подготовки к ЕГЭ."
canonical: https://edu-life.tech/articles/teorema-o-treh-perpendikulyarah-dokazatelstvo-zadachi
tags: ["shkola", "roditelyam", "matematika", "10-klass", "11-klass", "ege", "geometriya"]
---

# Теорема о трех перпендикулярах: доказательство и задачи ЕГЭ

## Теорема о трех перпендикулярах: формулировка и значение

Теорема о трех перпендикулярах — это ключевая теорема в разделе стереометрии. Её суть заключается в следующем: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то эта прямая также перпендикулярна и самой наклонной. Данная теорема часто встречается в задании №13 профильного ЕГЭ по математике, за верное решение которого можно получить 3 балла.

## Доказательство теоремы о трех перпендикулярах

Рассмотрим доказательство теоремы шаг за шагом.

**Дано:**
- Плоскость α.
- Перпендикуляр AB к плоскости α.
- Наклонная AC к плоскости α.
- Проекция BC наклонной AC на плоскость α.
- Прямая c, лежащая в плоскости α и проходящая через точку C (основание наклонной).
- Условие: прямая c перпендикулярна проекции BC.

**Требуется доказать:** прямая c перпендикулярна наклонной AC.

**Доказательство:**
1.  Проведем прямую KC, параллельную прямой AB.
    - По построению: KC || AB.
    - По условию: AB ⊥ α.
    - Следствие: KC ⊥ α (если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой).
2.  Поскольку KC ⊥ α, то прямая KC перпендикулярна любой прямой в плоскости α, в том числе и прямой c.
3.  Прямые AB и KC параллельны, следовательно, они определяют единственную плоскость β.
4.  В плоскости β лежат прямые BC, KC и AC.
5.  По условию: c ⊥ BC.
    - По доказанному: c ⊥ KC.
    - Вывод: прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым (BC и KC) плоскости β.
6.  Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой этой плоскости, включая наклонную AC.

Таким образом, c ⊥ AC. Теорема доказана.

**Важное замечание:** Во многих учебниках указано, что прямая в плоскости должна проходить через основание наклонной. Это условие не является обязательным для справедливости теоремы. Главное — перпендикулярность прямой проекции наклонной.

## Решение задач с применением теоремы

### Задача 1: Угол в пирамиде

**Условие:** Дана пирамида MABC с высотой MA. В основании лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Найдите угол между ребрами MC и BC.

**Решение:**
1.  MA — высота пирамиды, следовательно, MA ⊥ плоскости (ABC).
2.  AC является проекцией наклонной MC на плоскость основания ABC.
3.  По условию, в треугольнике ABC угол C прямой, значит, AC ⊥ BC.
4.  Прямая BC лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции AC.
5.  По теореме о трех перпендикулярах: BC ⊥ MC.

**Ответ:** Угол между ребрами MC и BC равен 90°.

### Задача 2: Перпендикулярность в параллелепипеде

**Условие:** Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Известно, что AD = 5, DD₁ = 5. Докажите, что прямые AD₁ и A₁C перпендикулярны.

**Решение:**
1.  Рассмотрим грань ADD₁A₁. Поскольку AD = DD₁ = 5, эта грань является квадратом.
2.  В квадрате ADD₁A₁ диагонали перпендикулярны: AD₁ ⊥ A₁D.
3.  Отрезок A₁D является проекцией наклонной A₁C на плоскость грани ADD₁A₁.
4.  Прямая AD₁ лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции A₁D.
5.  Применяем теорему о трех перпендикулярах: если AD₁ ⊥ A₁D (проекции), то AD₁ ⊥ A₁C (наклонной).

Перпендикулярность прямых AD₁ и A₁C доказана.

## Как успешно применять теорему на экзамене

- **Шаг 1: Идентифицируйте элементы.** Четко найдите в условии задачи плоскость, наклонную, её проекцию и прямую в плоскости.
- **Шаг 2: Проверьте условие.** Убедитесь, что прямая в плоскости перпендикулярна именно проекции наклонной.
- **Шаг 3: Сделайте вывод.** Смело применяйте теорему для доказательства перпендикулярности прямой и наклонной.

Понимание и умение применять эту теорему значительно упрощает решение сложных стереометрических задач на ЕГЭ.

**Дополнительные материалы для подготовки к ЕГЭ**
Больше теоретических разборов, готовых решений сложных задач и полезных конспектов по стереометрии и другим разделам математики вы найдете в нашей базе материалов на сайте https://edu-life.tech. Мы поможем систематизировать знания и уверенно подойти к экзамену.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?