Теорема Пифагора: формула, доказательство и решение задач

Теорема Пифагора: великое сокровище геометрии

Знаменитый астроном Иоганн Кеплер сравнил теорему Пифагора с мерой золота. Геометрия, по его мнению, хранит два великих сокровища. Первое сокровище — это сама теорема Пифагора. Второе сокровище — деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Актуальность теоремы на экзаменах

Теорема Пифагора встречается в заданиях базового и повышенного уровня сложности.

• За верное решение задачи базового уровня экзаменуемый получает 1 балл.
• Задания повышенного уровня оцениваются в 3 балла.

Качественное изучение материала позволяет успешно решить целый ряд экзаменационных задач. В результате ученик получает за них максимально возможный балл.

Формулировка теоремы Пифагора

Основное утверждение теоремы относится к прямоугольным треугольникам. Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Важное уточнение терминов (согласно учебнику «Геометрия. 8 класс» А. Г. Мерзляка):

• Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла.
• Катеты — две стороны, которые образуют прямой угол.
• Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов.

Формулы теоремы Пифагора

Основная формула записывается так: c² = a² + b² Где c — гипотенуза, a и b — катеты.

Из этой формулы выводятся другие, необходимые для решения задач:

1. Для нахождения гипотенузы: c = √(a² + b²)
2. Для нахождения первого катета: a = √(c² — b²)
3. Для нахождения второго катета: b = √(c² — a²)

Доказательство теоремы Пифагора

Дано: Прямоугольный треугольник △АВС, где угол ＜АСВ = 90⁰. Доказать: АВ² = АС² + ВС².

Ход доказательства:

1. Проведем высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу АВ.
2. Отрезки АН и НВ являются проекциями катетов АС и ВС на гипотенузу.
3. Согласно теореме о метрических соотношениях:
   • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на нее.
   • Записываем: АС² = АВ × АН и ВС² = АВ × НВ.
4. Складываем полученные равенства: АС² + ВС² = (АВ × АН) + (АВ × НВ) = АВ × (АН + НВ).
5. Поскольку АН + НВ = АВ, получаем: АС² + ВС² = АВ × АВ = АВ².

Теорема доказана.

Решение задач с применением теоремы Пифагора

Задача №1: Окружность и прямоугольный треугольник

Условие: Центр окружности, описанной около треугольника КРН, лежит на стороне КН. Радиус окружности равен 10. Найдите сторону КР, если известно, что РН = 12.

Дано:

• Описанная окружность с центром О.
• Точка О принадлежит стороне КН.
• Радиус R = 10.
• Сторона РН = 12.

Найти: Длину стороны КР.

Решение:

1. Все вершины треугольника лежат на описанной окружности. Следовательно, угол ＜КРН является вписанным.
2. Центр окружности лежит на стороне КН, значит, эта сторона является диаметром.
   • Длина диаметра: КН = 2R = 2 × 10 = 20.
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Поэтому треугольник КРН — прямоугольный с гипотенузой КН.
4. Применяем теорему Пифагора для нахождения катета КР:
   • КР = √(КН² — РН²) = √(20² — 12²) = √(400 — 144) = √256 = 16.

Ответ: КР = 16.

Задача №2: Пирамида с прямоугольным основанием

Условие: Дана пирамида МАВС с высотой МА. В основании лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Требуется найти:

1. Угол между ребрами МС и ВС.
2. Длину ребра МВ, если МС = 12, а ВС = 5.

Решение части 1:

1. МА — высота пирамиды, следовательно, МА перпендикулярна плоскости основания (АВС).
2. Отрезок АС является проекцией наклонной МС на плоскость основания.
3. В основании АС ⟂ ВС (по условию угол С прямой).
4. По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной (АС) перпендикулярна прямой в плоскости (ВС), то и сама наклонная (МС) перпендикулярна этой прямой.
5. Значит, МС ⟂ ВС, и угол между ними равен 90°.

Ответ на пункт 1: 90°.

Решение части 2:

1. Из первого пункта установлено, что МС ⟂ ВС.
2. Следовательно, треугольник МСВ — прямоугольный с прямым углом С.
3. В этом треугольнике МС и ВС — катеты, а МВ — гипотенуза.
4. По теореме Пифагора находим МВ:
   • МВ = √(МС² + ВС²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13.

Ответ на пункт 2: МВ = 13.

---

Дополнительные материалы по геометрии и подготовке к экзаменам

Больше готовых разборов теорем, алгоритмов решения сложных задач, конспектов и тренировочных вариантов для учеников 8-11 классов и их родителей вы найдете в нашей базе материалов на сайте https://edu-life.tech. У нас собрана систематизированная информация для эффективной подготовки.