---
title: "Теорема Пифагора: формула, доказательство и решение задач"
description: "Полное объяснение теоремы Пифагора с доказательством, формулами и разбором задач. Материал для подготовки к экзаменам."
canonical: https://edu-life.tech/articles/teorema-pifagora-formula-dokazatelstvo-zadachi
tags: ["shkola", "matematika", "8-klass", "9-klass", "10-klass", "11-klass", "geometriya"]
---

# Теорема Пифагора: формула, доказательство и решение задач

## Теорема Пифагора: великое сокровище геометрии

Знаменитый астроном Иоганн Кеплер сравнил теорему Пифагора с мерой золота. Геометрия, по его мнению, хранит два великих сокровища. Первое сокровище — это сама теорема Пифагора. Второе сокровище — деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

### Актуальность теоремы на экзаменах

Теорема Пифагора встречается в заданиях базового и повышенного уровня сложности.
- За верное решение задачи базового уровня экзаменуемый получает 1 балл.
- Задания повышенного уровня оцениваются в 3 балла.

Качественное изучение материала позволяет успешно решить целый ряд экзаменационных задач. В результате ученик получает за них максимально возможный балл.

## Формулировка теоремы Пифагора

Основное утверждение теоремы относится к прямоугольным треугольникам. Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

**Важное уточнение терминов (согласно учебнику «Геометрия. 8 класс» А. Г. Мерзляка):**
- Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла.
- Катеты — две стороны, которые образуют прямой угол.
- Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов.

### Формулы теоремы Пифагора

Основная формула записывается так:
`c² = a² + b²`
Где `c` — гипотенуза, `a` и `b` — катеты.

Из этой формулы выводятся другие, необходимые для решения задач:
1.  Для нахождения гипотенузы: `c = √(a² + b²)`
2.  Для нахождения первого катета: `a = √(c² — b²)`
3.  Для нахождения второго катета: `b = √(c² — a²)`

## Доказательство теоремы Пифагора

**Дано:** Прямоугольный треугольник △АВС, где угол ＜АСВ = 90⁰.
**Доказать:** АВ² = АС² + ВС².

**Ход доказательства:**
1.  Проведем высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу АВ.
2.  Отрезки АН и НВ являются проекциями катетов АС и ВС на гипотенузу.
3.  Согласно теореме о метрических соотношениях:
    - Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на нее.
    - Записываем: АС² = АВ × АН и ВС² = АВ × НВ.
4.  Складываем полученные равенства:
    АС² + ВС² = (АВ × АН) + (АВ × НВ) = АВ × (АН + НВ).
5.  Поскольку АН + НВ = АВ, получаем:
    АС² + ВС² = АВ × АВ = АВ².

Теорема доказана.

## Решение задач с применением теоремы Пифагора

### Задача №1: Окружность и прямоугольный треугольник

**Условие:** Центр окружности, описанной около треугольника КРН, лежит на стороне КН. Радиус окружности равен 10. Найдите сторону КР, если известно, что РН = 12.

**Дано:**
- Описанная окружность с центром О.
- Точка О принадлежит стороне КН.
- Радиус R = 10.
- Сторона РН = 12.

**Найти:** Длину стороны КР.

**Решение:**
1.  Все вершины треугольника лежат на описанной окружности. Следовательно, угол ＜КРН является вписанным.
2.  Центр окружности лежит на стороне КН, значит, эта сторона является диаметром.
    - Длина диаметра: КН = 2R = 2 × 10 = 20.
3.  Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Поэтому треугольник КРН — прямоугольный с гипотенузой КН.
4.  Применяем теорему Пифагора для нахождения катета КР:
    - КР = √(КН² — РН²) = √(20² — 12²) = √(400 — 144) = √256 = 16.

**Ответ:** КР = 16.

### Задача №2: Пирамида с прямоугольным основанием

**Условие:** Дана пирамида МАВС с высотой МА. В основании лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.
**Требуется найти:**
1.  Угол между ребрами МС и ВС.
2.  Длину ребра МВ, если МС = 12, а ВС = 5.

**Решение части 1:**
1.  МА — высота пирамиды, следовательно, МА перпендикулярна плоскости основания (АВС).
2.  Отрезок АС является проекцией наклонной МС на плоскость основания.
3.  В основании АС ⟂ ВС (по условию угол С прямой).
4.  По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной (АС) перпендикулярна прямой в плоскости (ВС), то и сама наклонная (МС) перпендикулярна этой прямой.
5.  Значит, МС ⟂ ВС, и угол между ними равен 90°.

**Ответ на пункт 1:** 90°.

**Решение части 2:**
1.  Из первого пункта установлено, что МС ⟂ ВС.
2.  Следовательно, треугольник МСВ — прямоугольный с прямым углом С.
3.  В этом треугольнике МС и ВС — катеты, а МВ — гипотенуза.
4.  По теореме Пифагора находим МВ:
    - МВ = √(МС² + ВС²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13.

**Ответ на пункт 2:** МВ = 13.

---

**Дополнительные материалы по геометрии и подготовке к экзаменам**

Больше готовых разборов теорем, алгоритмов решения сложных задач, конспектов и тренировочных вариантов для учеников 8-11 классов и их родителей вы найдете в нашей базе материалов на сайте https://edu-life.tech. У нас собрана систематизированная информация для эффективной подготовки.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?