---
title: "Теорема синусов: формула, доказательство и решение задач"
description: "Объясняем теорему синусов: формулировка, доказательство, следствие и практическое применение для нахождения сторон, углов и радиуса окружности."
canonical: https://edu-life.tech/articles/teorema-sinusov-formula-dokazatelstvo-reshenie-zadach
tags: ["shkola", "8-klass", "9-klass", "10-klass", "geometriya", "trigonometriya", "opisannaya-okruzhnost"]
---

# Теорема синусов: формула, доказательство и решение задач

## Что такое теорема синусов и зачем она нужна

Геометрия — это не только чертежи на бумаге. Геометрическое мышление решает практические задачи, где прямое измерение невозможно. Например, расстояние до вершины горы или ширина реки. В таких случаях мысленно строят треугольник, где искомая величина — это сторона. Найти ее помогают известные углы и одна измеренная сторона.

Ключевой инструмент для этого — теорема синусов. Теорема синусов устанавливает связь между сторонами треугольника и синусами противолежащих углов. Эта связь позволяет вычислять неизвестные элементы фигуры по известным данным.

## Формулировка и основная формула теоремы синусов

Теорема синусов — это фундаментальное утверждение геометрии. Теорема синусов работает для всех типов треугольников: остроугольных, тупоугольных и прямоугольных.

**Формулировка теоремы синусов:** стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

**Формула теоремы синусов** записывается так:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

**Обозначения в формуле:**
- Сторона `a` противолежит углу `A`.
- Сторона `b` противолежит углу `B`.
- Сторона `c` противолежит углу `C`.

Отношение длины любой стороны к синусу противолежащего угла является постоянной величиной для данного треугольника.

## Доказательство теоремы синусов

Рассмотрим два классических способа доказательства теоремы синусов.

### Доказательство через высоту треугольника

1.  В произвольном треугольнике ABC проводят высоту `h` из вершины C на сторону AB.
2.  Из прямоугольного треугольника ACH получают: `h = b * sin A`.
3.  Из прямоугольного треугольника BCH получают: `h = a * sin B`.
4.  Приравнивают выражения: `b * sin A = a * sin B`.
5.  Преобразуют равенство в пропорцию: `a / sin A = b / sin B`.
6.  Аналогично, проводя высоту из другой вершины, доказывают равенство этого отношения с `c / sin C`.

### Доказательство через площадь треугольника

Площадь треугольника S можно выразить тремя способами через синусы углов:
- S = ½ * a * b * sin C
- S = ½ * b * c * sin A
- S = ½ * a * c * sin B

Приравнивая эти формулы и сокращая общие множители, последовательно получают равенства отношений сторон к синусам противолежащих углов.

## Следствие теоремы синусов: связь с описанной окружностью

Из теоремы синусов вытекает важное следствие. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

**Формула следствия:** a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

**Обозначения:**
- `R` — радиус описанной около треугольника окружности.

Это следствие позволяет находить радиус описанной окружности, зная любую сторону и противолежащий ей угол.

## Практическое применение теоремы синусов

Теорема синусов — основной инструмент для решения треугольников. С ее помощью находят неизвестные стороны, углы и радиус описанной окружности.

### Алгоритм нахождения стороны треугольника

**Условие:** известны одна сторона и два угла.
**Формула:** a = b * (sin A / sin B)
**Пример:** В треугольнике известна сторона b=10 см, угол A=30°, угол B=45°. Сторона a = 10 * (sin 30° / sin 45°) = 10 * (0.5 / (√2/2)) ≈ 7.07 см.

### Алгоритм нахождения угла треугольника

**Условие:** известны две стороны и угол, противолежащий одной из них.
**Формула:** sin B = (b / a) * sin A
**Важное замечание:** значение синуса угла может соответствовать двум углам (острому и тупому). Выбор зависит от условия задачи. Если sin B = 1, то угол B однозначно равен 90°.

### Алгоритм нахождения радиуса описанной окружности

**Формула:** R = a / (2 * sin A)
**Пример:** Сторона a = 10 см, угол A = 30°. Радиус R = 10 / (2 * 0.5) = 10 см.

## Решение задач на теорему синусов

Проверьте понимание материала, решив задачи. Ниже приведены подробные решения для самопроверки.

**Задача 1.** В треугольнике ABC сторона AB = 8 см, угол C = 30°, угол A = 45°. Найдите сторону BC.
**Решение:**
1.  Записываем теорему синусов: BC / sin A = AB / sin C.
2.  Подставляем значения: BC / (√2/2) = 8 / (1/2).
3.  Получаем: BC / (√2/2) = 16.
4.  Находим BC: BC = 16 * (√2/2) = 8√2 см.
**Ответ:** 8√2 см.

**Задача 2.** В треугольнике ABC сторона BC = 6 см, угол A = 60°, угол B = 75°. Найдите сторону AB.
**Решение:**
1.  Находим угол C: ∠C = 180° - (60°+75°) = 45°.
2.  Записываем теорему синусов: AB / sin C = BC / sin A.
3.  Подставляем: AB / (√2/2) = 6 / (√3/2).
4.  Упрощаем: AB / (√2/2) = 4√3.
5.  Находим AB: AB = 4√3 * (√2/2) = 2√6 см.
**Ответ:** 2√6 см.

**Задача 3.** В тупоугольном треугольнике ABC сторона AB = 3 см, сторона BC = 3√2 см, угол C = 30°. Найдите угол A.
**Решение:**
1.  Записываем теорему синусов: BC / sin A = AB / sin C.
2.  Подставляем: 3√2 / sin A = 3 / 0.5.
3.  Получаем: 3√2 / sin A = 6.
4.  Находим sin A: sin A = 3√2 / 6 = √2 / 2 ≈ 0.7071.
5.  Такому синусу соответствуют углы 45° и 135°. По условию треугольник тупоугольный, поэтому выбираем больший угол.
**Ответ:** ∠A = 135°.

**Задача 4.** В треугольнике ABC сторона AB = 12 см, угол C = 30°. Найдите радиус описанной окружности.
**Решение:**
1.  Используем следствие теоремы синусов: AB / sin C = 2R.
2.  Подставляем: 12 / 0.5 = 2R.
3.  Получаем: 24 = 2R.
4.  Находим радиус: R = 12 см.
**Ответ:** 12 см.

## Дополнительные материалы по геометрии

Для закрепления темы «Теорема синусов» и других разделов геометрии, а также для подготовки к контрольным работам и экзаменам, посетите наш образовательный портал. Больше готовых разборов теорем, алгоритмов решения задач и практических упражнений для учеников 8-11 классов вы найдете на сайте https://edu-life.tech.

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?