Теорема Виета: формула, доказательство, задачи для 8-9 класса

Теорема Виета: практическое применение в математике

Теорема Виета — это мощный инструмент для анализа и решения квадратных уравнений. Знание этой теоремы развивает логическое мышление и служит основой для изучения сложных алгебраических тем. Вместе с экспертом-преподавателем разберем формулировку, доказательство и научимся применять теорему на практике.

Суть теоремы Виета в алгебре

Теорема Виета устанавливает прямую связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. Основная ценность теоремы:

• Вывод формулы разложения квадратного трехчлена на множители.
• Нахождение суммы и произведения корней уравнения через его коэффициенты.
• Решение значительной части алгебраических заданий без вычисления дискриминанта.

Ключевые правила и формулы теоремы Виета

Определение знаков корней

Правило определения знаков помогает быстро оценить корни уравнения:

• Свободный член c > 0: оба корня имеют одинаковый знак.
• Свободный член c < 0: корни имеют противоположные знаки.

Основная формула для общего квадратного уравнения

Для уравнения вида ax² + bx + c = 0 с корнями x₁ и x₂:

Действие	Формула
Сумма корней	x₁ + x₂ = -b/a
Произведение корней	x₁ × x₂ = c/a

Формула для приведенного квадратного уравнения

Приведенное уравнение имеет вид x² + mx + n = 0 (коэффициент a = 1). Теорема Виета для него упрощается:

• Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: x₁ + x₂ = -m
• Произведение корней равно свободному члену: x₁ × x₂ = n

Доказательство теоремы Виета

Доказательство основано на формуле корней квадратного уравнения через дискриминант D = b² - 4ac.

Доказательство для суммы корней

Корни уравнения: x₁ = (-b - √D)/(2a) и x₂ = (-b + √D)/(2a) Сумма корней: x₁ + x₂ = [(-b - √D) + (-b + √D)]/(2a) = (-2b)/(2a) = -b/a

Доказательство для произведения корней

Произведение корней: x₁ × x₂ = [(-b - √D)/(2a)] × [(-b + √D)/(2a)] = [(-b)² - (√D)²]/(4a²) = (b² - D)/(4a²) Подставляем D = b² - 4ac: (b² - (b² - 4ac))/(4a²) = (4ac)/(4a²) = c/a

Для случая D = 0 доказательство аналогично, так как оба корня равны -b/(2a).

Обратная теорема Виета

Обратная теорема используется для:

• Быстрого подбора корней квадратного уравнения.
• Проверки правильности найденных решений.
• Составления квадратных уравнений по заданным корням.

Формулировка обратной теоремы

Если числа β и κ удовлетворяют условиям:

• β + κ = -b/a
• β × κ = c/a

Тогда β и κ являются корнями уравнения ax² + bx + c = 0.

Для приведенного уравнения x² + mx + n = 0 условия упрощаются:

• β + κ = -m
• β × κ = n

Практические задачи на применение теоремы Виета

Вместе с учителем математики Светланой Кудряшовой подготовили задачи для закрепления материала. Разберем пошаговое решение каждого примера.

Задача 1: Тестовые вопросы

1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна:

   • а) свободному коэффициенту с противоположным знаком
   • б) свободному коэффициенту
   • в) второму коэффициенту
   • г) второму коэффициенту с противоположным знаком ✓

2. Произведение корней приведенного квадратного уравнения равно:

   • а) свободному коэффициенту с противоположным знаком
   • б) свободному коэффициенту ✓
   • в) второму коэффициенту
   • г) второму коэффициенту с противоположным знаком

3. Корни уравнения x² - x - 12 = 0:

   • а) 4 и -3 ✓
   • б) 1 и -12
   • в) -4 и 3
   • г) -1 и 12

Задача 2: Решение уравнения

Уравнение: x² + 3x - 18 = 0

Решение по обратной теореме Виета:

1. Сумма корней: x₁ + x₂ = -3
2. Произведение корней: x₁ × x₂ = -18
3. Подбираем числа: -6 и 3
   • -6 + 3 = -3 ✓
   • -6 × 3 = -18 ✓

Ответ: -6; 3

Задача 3: Составление уравнения

Условие: Составьте приведенное квадратное уравнение с корнями -8 и 7.

Решение:

1. Сумма корней: -8 + 7 = -1 ⇒ m = 1 (так как x₁ + x₂ = -m)
2. Произведение корней: -8 × 7 = -56 ⇒ n = -56
3. Уравнение: x² + 1x - 56 = 0 или x² + x - 56 = 0

Ответ: x² + x - 56 = 0

Задача 4: Вычисление выражений

Условие: Для уравнения x² + 2x - 8 = 0 с корнями x₁ и x₂ найдите: а) 1/x₁ + 1/x₂ б) x₁²x₂ + x₁x₂²

Решение: По теореме Виета: x₁ + x₂ = -2, x₁ × x₂ = -8

а) 1/x₁ + 1/x₂ = (x₂ + x₁)/(x₁ × x₂) = (-2)/(-8) = 1/4 = 0,25

б) x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂) = (-8) × (-2) = 16

Ответ: а) 0,25; б) 16

Проверка ответов к задачам

Сверим полученные результаты:

• Задача 1: 1-г, 2-б, 3-а
• Задача 2: -6; 3
• Задача 3: x² + x - 56 = 0
• Задача 4: а) 0,25; б) 16

Дополнительные материалы по алгебре для 8-9 класса

Больше готовых разборов тем, задач с решениями, конспектов и материалов для подготовки к ОГЭ по математике вы найдете на нашем сайте https://edu-life.tech. У нас собрана полная база заданий по теореме Виета и другим темам школьной алгебры.