Вписанная окружность: определение, свойства, формулы, задачи

Вписанная окружность в геометрии: полный разбор

Вписанная окружность — это геометрическая фигура, которая находится внутри многоугольника и касается каждой его стороны. Многоугольник, содержащий такую окружность, называется описанным. Центр вписанной окружности обладает ключевым свойством: он равноудален от всех сторон описанной фигуры.

Возможность вписать окружность — это особое свойство, а не общее правило. Например, операция всегда выполнима для любого треугольника и правильного многоугольника. Для произвольного четырехугольника необходимо соблюдение строгого условия.

Ключевые характеристики вписанной окружности

Для эффективной работы с понятием важно знать основные факты. Следующая таблица систематизирует главные параметры.

Параметр	Описание
Определение	Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника изнутри.
Центр (инцентр)	Точка, равноудаленная от всех сторон описанного многоугольника.
Основное условие	Для существования центр должен находиться на пересечении биссектрис углов фигуры.
Связь с площадью	Площадь описанного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: S = p * r.

Вписанная окружность в треугольник

Любой треугольник обладает уникальным свойством: в него всегда можно вписать ровно одну окружность. Центр этой окружности (инцентр) является замечательной точкой треугольника и всегда расположен внутри фигуры.

Свойства и формулы для треугольника

Окружность, вписанная в треугольник, подчиняется строгим геометрическим законам. Эти законы выражаются в удобных формулах для вычислений.

1. Построение центра: Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис всех трех углов треугольника. Это свойство используют для построения окружности.
2. Равенство отрезков касательных: Отрезки сторон от вершин до точек касания, выходящие из одной вершины, равны. Свойство следует из теоремы о равенстве отрезков касательных.
3. Формула площади: Площадь S описанного треугольника равна произведению его полупериметра p на радиус r вписанной окружности: S = p * r.
4. Формула радиуса: Радиус вписанной окружности находят, разделив площадь треугольника на его полупериметр: r = S / p.
5. Частные случаи:
   • Прямоугольный треугольник: r = (a + b - c) / 2, где a, b — катеты, c — гипотенуза.
   • Равносторонний треугольник: r = a * √3 / 6, где a — сторона.

Формула Эйлера: связь двух окружностей

Для любого треугольника существует фундаментальная связь между радиусами вписанной r и описанной R окружностей и расстоянием d между их центрами. Она выражается формулой Эйлера: d² = R² - 2Rr

Из формулы следует важный вывод: радиус описанной окружности R всегда не меньше удвоенного радиуса вписанной 2r. Равенство R = 2r выполняется только для правильного (равностороннего) треугольника.

Вписанная окружность в четырехугольник

В отличие от треугольника, вписать окружность можно не в каждый четырехугольник. Существует четкий и необходимый признак.

Признак и свойства описанного четырехугольника

Главное условие (признак): чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, суммы длин его противоположных сторон должны быть равны. AB + CD = BC + AD

Если условие выполнено, четырехугольник обладает следующими свойствами:

1. Центр окружности: Лежит на пересечении биссектрис всех четырех углов.
2. Формула площади: Площадь S равна произведению полупериметра p на радиус r: S = p * r.
3. Формула радиуса: r = S / p.
4. Частные случаи:
   • Ромб: Радиус равен половине высоты: r = h / 2. Также r = a * sin(α), где a — сторона, α — угол.
   • Квадрат: Радиус равен половине стороны: r = a / 2.

Вписанная окружность в правильный многоугольник (n-угольник)

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Ее свойства проявляются в наиболее симметричной форме.

Свойства и формулы для правильного n-угольника

1. Центр: Совпадает с центром правильного многоугольника (точка, равноудаленная от всех вершин и сторон).
2. Точка касания: Каждая сторона касается окружности ровно в своей середине.
3. Формула площади: S = p * r, где p — полупериметр.
4. Формулы радиуса:
   • Через площадь и полупериметр: r = S / p.
   • Через сторону a и число сторон n: r = a / (2 * tg(180°/n)).
   • Через радиус описанной окружности R: r = R * cos(180°/n).

Эти формулы выводятся из рассмотрения прямоугольного треугольника, образованного радиусом вписанной окружности (апофемой), половиной стороны и радиусом описанной окружности.

Практика: задачи на вписанную окружность с решениями

Решение задач помогает закрепить формулы и понять взаимосвязи элементов фигур.

Задача 1: Треугольник

Условие: В треугольнике ABC стороны равны: AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение:

1. Находим полупериметр p: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 см.
2. Находим площадь по формуле Герона: S = √(21*(21-13)*(21-14)*(21-15)) = √(21*8*7*6) = √7056 = 84 см².
3. Находим радиус: r = S / p = 84 / 21 = 4 см.

Ответ: 4 см.

Задача 2: Четырехугольник

Условие: Стороны выпуклого четырехугольника равны 7 см, 8 см, 9 см, 10 см (последовательно). Можно ли в него вписать окружность?

Решение: Проверяем признак описанного четырехугольника: суммы противоположных сторон должны быть равны.

• 7 + 9 = 16 см
• 8 + 10 = 18 см 16 ≠ 18. Условие не выполняется.

Ответ: Нет, нельзя.

Задача 3: Квадрат

Условие: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 5√2 см. Найдите сторону квадрата.

Решение: Для квадрата r = a / 2. Следовательно, сторона a = 2r. a = 2 * 5√2 = 10√2 см.

Ответ: 10√2 см.

Задача 4: Правильный шестиугольник

Условие: Периметр правильного шестиугольника равен 72 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение:

1. Сторона a = P / 6 = 72 / 6 = 12 см.
2. Для правильного шестиугольника (n=6): r = a * √3 / 2. r = 12 * √3 / 2 = 6√3 см.

Ответ: 6√3 см.

Решение подобных задач соответствует требованиям Федеральной рабочей программы по математике и входит в программу государственной итоговой аттестации (ОГЭ).

Дополнительные материалы по геометрии Больше готовых конспектов, разборов тем, формул и задач для учеников 7, 8, 9 классов и их родителей вы найдете на нашем образовательном портале https://edu-life.tech.