---
title: "Вписанная окружность: определение, свойства, формулы, задачи"
description: "Полное руководство по вписанной окружности: в какие фигуры вписывается, свойства, формулы для треугольника, четырехугольника, правильного n-угольника. Решение задач с ответами."
canonical: https://edu-life.tech/articles/vpisannaya-okruzhnost-opredelenie-svojstva-formuly-zadachi
tags: ["shkola", "roditelyam", "matematika", "7-klass", "8-klass", "9-klass", "geometriya"]
---

# Вписанная окружность: определение, свойства, формулы, задачи

## Вписанная окружность в геометрии: полный разбор

Вписанная окружность — это геометрическая фигура, которая находится внутри многоугольника и касается каждой его стороны. Многоугольник, содержащий такую окружность, называется описанным. Центр вписанной окружности обладает ключевым свойством: он равноудален от всех сторон описанной фигуры.

Возможность вписать окружность — это особое свойство, а не общее правило. Например, операция всегда выполнима для любого треугольника и правильного многоугольника. Для произвольного четырехугольника необходимо соблюдение строгого условия.

### Ключевые характеристики вписанной окружности

Для эффективной работы с понятием важно знать основные факты. Следующая таблица систематизирует главные параметры.

| Параметр | Описание |
|----------|----------|
| **Определение** | Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника изнутри. |
| **Центр (инцентр)** | Точка, равноудаленная от всех сторон описанного многоугольника. |
| **Основное условие** | Для существования центр должен находиться на пересечении биссектрис углов фигуры. |
| **Связь с площадью** | Площадь описанного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: `S = p * r`. |

## Вписанная окружность в треугольник

Любой треугольник обладает уникальным свойством: в него всегда можно вписать ровно одну окружность. Центр этой окружности (инцентр) является замечательной точкой треугольника и всегда расположен внутри фигуры.

### Свойства и формулы для треугольника

Окружность, вписанная в треугольник, подчиняется строгим геометрическим законам. Эти законы выражаются в удобных формулах для вычислений.

1.  **Построение центра**: Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис всех трех углов треугольника. Это свойство используют для построения окружности.
2.  **Равенство отрезков касательных**: Отрезки сторон от вершин до точек касания, выходящие из одной вершины, равны. Свойство следует из теоремы о равенстве отрезков касательных.
3.  **Формула площади**: Площадь `S` описанного треугольника равна произведению его полупериметра `p` на радиус `r` вписанной окружности: `S = p * r`.
4.  **Формула радиуса**: Радиус вписанной окружности находят, разделив площадь треугольника на его полупериметр: `r = S / p`.
5.  **Частные случаи**:
    *   **Прямоугольный треугольник**: `r = (a + b - c) / 2`, где `a, b` — катеты, `c` — гипотенуза.
    *   **Равносторонний треугольник**: `r = a * √3 / 6`, где `a` — сторона.

### Формула Эйлера: связь двух окружностей

Для любого треугольника существует фундаментальная связь между радиусами вписанной `r` и описанной `R` окружностей и расстоянием `d` между их центрами. Она выражается формулой Эйлера:
`d² = R² - 2Rr`

Из формулы следует важный вывод: радиус описанной окружности `R` всегда не меньше удвоенного радиуса вписанной `2r`. Равенство `R = 2r` выполняется только для правильного (равностороннего) треугольника.

## Вписанная окружность в четырехугольник

В отличие от треугольника, вписать окружность можно не в каждый четырехугольник. Существует четкий и необходимый признак.

### Признак и свойства описанного четырехугольника

Главное условие (признак): чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, суммы длин его противоположных сторон должны быть равны.
`AB + CD = BC + AD`

Если условие выполнено, четырехугольник обладает следующими свойствами:
1.  **Центр окружности**: Лежит на пересечении биссектрис всех четырех углов.
2.  **Формула площади**: Площадь `S` равна произведению полупериметра `p` на радиус `r`: `S = p * r`.
3.  **Формула радиуса**: `r = S / p`.
4.  **Частные случаи**:
    *   **Ромб**: Радиус равен половине высоты: `r = h / 2`. Также `r = a * sin(α)`, где `a` — сторона, `α` — угол.
    *   **Квадрат**: Радиус равен половине стороны: `r = a / 2`.

## Вписанная окружность в правильный многоугольник (n-угольник)

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Ее свойства проявляются в наиболее симметричной форме.

### Свойства и формулы для правильного n-угольника

1.  **Центр**: Совпадает с центром правильного многоугольника (точка, равноудаленная от всех вершин и сторон).
2.  **Точка касания**: Каждая сторона касается окружности ровно в своей середине.
3.  **Формула площади**: `S = p * r`, где `p` — полупериметр.
4.  **Формулы радиуса**:
    *   Через площадь и полупериметр: `r = S / p`.
    *   Через сторону `a` и число сторон `n`: `r = a / (2 * tg(180°/n))`.
    *   Через радиус описанной окружности `R`: `r = R * cos(180°/n)`.

Эти формулы выводятся из рассмотрения прямоугольного треугольника, образованного радиусом вписанной окружности (апофемой), половиной стороны и радиусом описанной окружности.

## Практика: задачи на вписанную окружность с решениями

Решение задач помогает закрепить формулы и понять взаимосвязи элементов фигур.

### Задача 1: Треугольник
**Условие**: В треугольнике ABC стороны равны: AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см. Найдите радиус вписанной окружности.

**Решение**:
1.  Находим полупериметр `p`: `p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 см`.
2.  Находим площадь по формуле Герона:
    `S = √(21*(21-13)*(21-14)*(21-15)) = √(21*8*7*6) = √7056 = 84 см²`.
3.  Находим радиус: `r = S / p = 84 / 21 = 4 см`.

**Ответ**: 4 см.

### Задача 2: Четырехугольник
**Условие**: Стороны выпуклого четырехугольника равны 7 см, 8 см, 9 см, 10 см (последовательно). Можно ли в него вписать окружность?

**Решение**:
Проверяем признак описанного четырехугольника: суммы противоположных сторон должны быть равны.
*   `7 + 9 = 16 см`
*   `8 + 10 = 18 см`
`16 ≠ 18`. Условие не выполняется.

**Ответ**: Нет, нельзя.

### Задача 3: Квадрат
**Условие**: Радиус вписанной в квадрат окружности равен `5√2 см`. Найдите сторону квадрата.

**Решение**:
Для квадрата `r = a / 2`. Следовательно, сторона `a = 2r`.
`a = 2 * 5√2 = 10√2 см`.

**Ответ**: `10√2 см`.

### Задача 4: Правильный шестиугольник
**Условие**: Периметр правильного шестиугольника равен 72 см. Найдите радиус вписанной окружности.

**Решение**:
1.  Сторона `a = P / 6 = 72 / 6 = 12 см`.
2.  Для правильного шестиугольника (`n=6`): `r = a * √3 / 2`.
    `r = 12 * √3 / 2 = 6√3 см`.

**Ответ**: `6√3 см`.

Решение подобных задач соответствует требованиям Федеральной рабочей программы по математике и входит в программу государственной итоговой аттестации (ОГЭ).

**Дополнительные материалы по геометрии**
Больше готовых конспектов, разборов тем, формул и задач для учеников 7, 8, 9 классов и их родителей вы найдете на нашем образовательном портале [https://edu-life.tech](https://edu-life.tech).

## Вас может заинтересовать

- [Программа Планета знаний: что ждет первоклассника?](https://edu-life.tech/articles/planeta-znanij-programma-dlya-nachalnoj-shkoly-obzor) — Разбираем популярную программу для начальной школы: особенности, учебные материалы, плюсы и минусы. Помогаем родителям сделать выбор.
- [Как приучить ребенка к самостоятельному выполнению уроков](https://edu-life.tech/articles/kak-priuchit-rebenka-delat-uroki-samostoyatelno-v-2026-godu) — Практические шаги и экспертные рекомендации, которые помогут передать ответственность за домашние задания ребенку и сохранить мир в семье.
- [Программа «Школа России»: традиции и современность в начальной школе](https://edu-life.tech/articles/shkola-rossii-programma-nachalnaya-shkola-1-4-klass) — Узнайте об особенностях самой популярной программы для 1-4 классов, её содержании по годам обучения, преимуществах и недостатках. Подходит ли она вашему ребёнку?